Kareköklü Sayılar Kök Dışına Çıkarma
kaynağı değiştir]
Bir sayının üssü o sayının kök içine nasıl alınacağını belirler. Böyle bir durumda üssün paydası kök içindeki sayının kuvvetini belirtir. Farklı kuvvetlere sahip köklü sayılarda işlem yapılabilmesi için kuvvetlerin eşitlenmesi gerekir. Üssü 
![{\displaystyle {\sqrt[{b}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ceeccbbf1609652afdb8d84d33552cd2731bb0d)
Bir sayının kuvvetinin değişmesi için o sayının istenilen kuvveti elde etmemizi sağlayacak bir sayıyla çarpılması gerekir. Kuvvet çarpıldığından dolayı kökün içindeki sayının üssü de aynı sayıyla çarpılır.
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{5^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625e1d4458dba4ebe7321dde355bd671a21796aa)
![{\displaystyle {\sqrt[{3.2}]{5^{2.2}}}={\sqrt[{6}]{625}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f69adaec0937b6ed05262549b81a74ff954a7e)
Sadeleştirme[değiştir Köklü İfade İşlem Kuralları
SORU 1:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
aşağıdaki ifadelerden hangisinin karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamaz?
(a) \( 28 + 16\sqrt{3} \)
(b) \( 52 + 16\sqrt{3} \)
(c) \( 67 + 16\sqrt{3} \)
(d) \( 88 + 16\sqrt{3} \)
(e) \( 193 + 16\sqrt{3} \)
Çözümü GösterSeçeneklerdeki ifadelerin tümü \( m + 16\sqrt{3} \) şeklindedir. Buna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( \sqrt{m + 16\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( m + 16\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + (b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 \)
\( = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} \)
Eşitliğin iki tarafında \( \sqrt{3} \) ifadelerinin katsayıları için \( 16 = 2ab \) eşitliğini sağlayan tüm \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayı değerlerini yazalım.
\( a = 1, \quad b = 8 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 1^2 + 3 \cdot 8^2 = 193 \)
Bu durumda cevap \( 193 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 2, \quad b = 4 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \cdot 4^2 = 52 \)
Bu durumda cevap \( 52 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 4, \quad b = 2 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 4^2 + 3 \cdot 2^2 = 28 \)
Bu durumda cevap \( 28 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 8, \quad b = 1 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 8^2 + 3 \cdot 1^2 = 67 \)
Bu durumda cevap \( 67 + 16\sqrt{3} \) olur.
Buna göre karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamayacak olan ifade (d) seçeneğidir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( x \) asal sayı, \( b \) doğal sayıdır.
Buna göre \( \sqrt[3]{x + 19} = b \) işleminde \( x \)'in alabileceği en küçük değer nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt[3]{x + 19} = b \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( x + 19 = b^3 \)
\( x = b^3 - 19 \)
Buna göre küpünün 19 eksiği bir asal sayı olan en küçük \( x \) sayısını bulmalıyız. Farklı \( b \) sayıları için yukarıdaki ifadeyi hesaplayalım.
\( 3^3 - 19 = 8 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 4^3 - 19 = 45 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 5^3 - 19 = 106 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 6^3 - 19 = 197 \Longrightarrow \) Asal
Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük değer 197 olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( \sqrt{1800} \) metre uzunluğundaki bir ipin yarısı her biri \( 5\sqrt{2} \) metre uzunluğunda olacak şekilde kaç parçaya ayrılabilir?
Çözümü Göster\( \dfrac{\sqrt{1800} \cdot \frac{1}{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{1800}}{10\sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{1800}}{\sqrt{200}} = \sqrt{\dfrac{1800}{200}} \)
\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( \dfrac{6\sqrt{243}}{\sqrt{7}} + \dfrac{6\sqrt{112}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadelerin hepsini kök dışına çıkaralım.
\( \dfrac{6 \cdot 9\sqrt{3}}{ \sqrt{7}} + \dfrac{6 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)
Tüm kesirlerin paydalarını \( \sqrt{21} \)'de eşitleyelim.
\( = \dfrac{54\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} + \dfrac{24\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{21}} - \dfrac{89\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} \)
\( = \dfrac{162 + 168 - 267}{\sqrt{21}} = \dfrac{63}{\sqrt{21}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı \( \sqrt{21} \) ile çarpalım.
\( = \dfrac{63 \cdot \sqrt{21}}{21} = 3\sqrt{21} \) olarak buluruz.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( (\sqrt[8]{\sqrt[3]{7^8}})^9 \cdot (\sqrt[3]{\sqrt[8]{7^9}})^8 \)
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterKöklü ifadeleri üslü ifade biçiminde yazalım.
\( (\sqrt[8]{7^{\frac{8}{3}}})^9 \cdot (\sqrt[3]{7^{\frac{9}{8}}})^8 \)
\( = (7^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8}})^9 \cdot (7^{\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3}})^8 \)
\( = (7^{\frac{1}{3}})^9 \cdot (7^{\frac{3}{8}})^8 \)
\( = 7^3 \cdot 7^3 = 7^6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( \sqrt[4]{(9! + 10! + 11!) \cdot A} \) işleminin sonucunu rasyonel yapan en küçük \( A \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \sqrt[4]{(9! + 10 \cdot 9! + 11 \cdot 10 \cdot 9!) \cdot A} \)
\( = \sqrt[4]{9! \cdot (1 + 10 + 110) \cdot A} = \sqrt[4]{9! \cdot 121 \cdot A} \)
Kök içindeki ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.
\( = \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^2 \cdot A} \)
Köklü ifadenin derecesi 4 olduğu için, ifadenin rasyonel olabilmesi tüm asal çarpanların üsleri 4 ya da 4'ün bir tam sayı katı olmalıdır.
Buna göre bu ifadeyi rasyonel hale getirecek en küçük \( A \) sayısı içinde 2 çarpanı 1 kez, 5 ve 7 çarpanları 3'er kez, 11 çarpanı da 2 kez bulunmalıdır.
\( A = 2^1 \cdot 5^3 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{3} + 1} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^2} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \)
İkinci ve üçüncü çarpanların dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^3} \)
İkinci çarpanın derecesini ve kök içinin üssünü 3'e bölelim.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + 1} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( \sqrt{\sqrt{20} + \sqrt{45}} \cdot (\sqrt[4]{80} - \sqrt[4]{5}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki sayıları asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 5} + \sqrt{3^2 \cdot 5}} \cdot (\sqrt[4]{2^4 \cdot 5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} \cdot (2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{5\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5} \)
Birinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{(5\sqrt{5})^2} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{5}\)
\( = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5} = \sqrt[4]{5^4} = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( \sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3} = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) eşitliklerini birbiri ile çarpalım.
\( A \cdot B = (\sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3})(\sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3}) \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = (\sqrt{7 + x})^2 - (\sqrt{x + 3})^2 \)
\( = (7 + x) - (x + 3) \)
\( A \cdot B = 4 \)
\( B = \dfrac{4}{A} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 10:
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt[3]{3} - 1 = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü GösterKüp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( B \) ifadesi ile \( A \) ifadesinin paydası bir küp farkı özdeşliğinin iki çarpanıdır.
\( A \) ifadesinin payını ve paydasını \( \sqrt[3]{3} - 1 \) ile çarpalım.
\( A = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{2} = \dfrac{B}{2} \)
\( B \)'yi yalnız bırakalım.
\( B = 2A \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 11:
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{10} + \sqrt{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİki çarpanı birbiri ile çarpabilmek için önce derecelerini eşitleyelim.
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{20} + (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 2\sqrt{20}} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 4\sqrt{5}} \)
Derecelerini eşitlediğimiz köklü ifadeleri çarpalım.
\( = \sqrt[4]{(3 - \sqrt{5}) \cdot (12 + 4\sqrt{5})} \)
\( = \sqrt[4]{36 + 12\sqrt{5} - 12\sqrt{5} - 20} \)
\( = \sqrt[4]{16} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 12:
\( \sqrt{2} = a, \quad \sqrt{3} = b, \quad \sqrt{5} = c \) olmak üzere,
\( \sqrt[4]{0,036} \) ifadesinin \( a \), \( b \) ve \( c \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü GösterSorudaki ifadeyi asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt[4]{\dfrac{36}{1000}} = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{10^3}} \)
\( = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\dfrac{3^2}{2 \cdot 5^3}} \)
\( = \dfrac{\sqrt[4]{3^2}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5^3}} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{4} \cdot 5^\frac{3}{4}} = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{(2^\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \cdot (5^\frac{1}{2})^\frac{3}{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5})^\frac{3}{2}} \)
Köklü ifadelerin yerlerine karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{b}{a^\frac{1}{2} \cdot c^\frac{3}{2}} \)
Üslü ifadeleri köklü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{b}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{c^3}} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 13:
\( \dfrac{(\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1)}{(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1)} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSorunun çözümü için önce payı düzenleyelim.
Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Paydaki ifadeyi bir küp farkının açılımı olarak düşünebiliriz.
\( (\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9} - 1)((\sqrt[3]{9})^2 + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9})^3 - 1^3 = 8 \)
Şimdi paydayı düzenleyelim.
\( (\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İlk iki çarpana kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = ((\sqrt[4]{5})^2 - 1^2)(\sqrt{5} + 1) \)
\( = (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İki çarpana tekrar kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = (\sqrt{5})^2 - 1^1 = 4 \)
Pay ve paydanın sadeleştirilmiş hallerini birbirine bölelim.
\( \dfrac{8}{4} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 14:
\( \sqrt[4]{4 + \sqrt{12}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \)
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{3} - 1)^2} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3 - 2\sqrt{3} + 1} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{4 - 2\sqrt{3}} \)
\( = \sqrt[4]{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt[4]{4^2 - (2\sqrt{3})^2} \)
\( = \sqrt[4]{16 - 12} = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 15:
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{64}, \quad \sqrt[b]{27} = \sqrt[c]{81} \) ve
\( a \cdot b \cdot c = 12 \) olduğuna göre, \( a + b + c \) kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadelerin içini düzenleyelim.
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{4^3} \)
\( \sqrt[b]{3^3} = \sqrt[c]{3^4} \)
Köklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.
\( 4^{\frac{1}{a}} = 4^{\frac{3}{b}} \)
\( 3^{\frac{3}{b}} = 3^{\frac{4}{c}} \)
Tabanları -1, 0, 1'den farklı ve birbirine eşit iki üslü ifade birbirine eşitse üsleri de eşittir.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} \)
\( \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} \)
Buna göre orantı sabiti \( \frac{1}{k} \) olacak şekilde aşağıdaki orantıyı yazabiliriz.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{k} \)
\( a = k, \quad b = 3k, \quad c = 4k \)
\( k \cdot 3k \cdot 4k = 12k^3 = 12 \)
\( k = 1 \)
\( a = k = 1, \quad b = 3k = 3, \quad c = 4k = 4 \)
\( a + b + c = 1 + 3 + 4 = 8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 16:
\( \sqrt{x} + 1 = \sqrt{6} \) olduğuna göre, \( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt{x} = \sqrt{6} - 1 \)
\( (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{6} - 1)^2 \)
\( x = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6} \)
Bu değeri sonucu istenen işlemde yerine koyalım.
\( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10}{\sqrt{6} - 1} \)
İkinci terimin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) } \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{5} \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + 2(\sqrt{6} + 1) \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + 2 \)
\( = 9\) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 17:
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{7 - \sqrt{40}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÖnce paydayı düzenleyelim.
Köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{7 - \sqrt{4 \cdot 10}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} \)
\( = \sqrt{(5 + 2) - 2\sqrt{5 \cdot 2}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Soruda verilen işlem aşağıdaki şekilde olur.
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 18:
\( \sqrt{\sqrt{28 + 8\sqrt{12}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİçteki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{28 + (2 \cdot 4)\sqrt{12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(16 + 12) + 2\sqrt{16 \cdot 12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{16} + \sqrt{12})^2}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{16} + \sqrt{12}} \)
\( = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \)
Aynı işlemi tekrarlayalım.
\( = \sqrt{(3 + 1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} \)
\( = \sqrt{3} + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 19:
\( \sqrt{11 + 4\sqrt{6}} - \sqrt{11 - 4\sqrt{6}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( \sqrt{11 + 2\sqrt{6 \cdot 4}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{6 \cdot 4}} \)
\( = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{24}} \)
Dıştaki köklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = \sqrt{(8 + 3) + 2\sqrt{8 \cdot 3}} - \sqrt{(8 + 3) - 2\sqrt{8 \cdot 3}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{3})^2} - \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{3})^2} \)
\( = (\sqrt{8} + \sqrt{3}) - (\sqrt{8} - \sqrt{3}) \)
\( = 2\sqrt{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 20:
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot (\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci köklü ifadeyi \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) ile çarpalım.
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{(\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}} \)
\( \sqrt{10 + 2\sqrt{21}} \) ifadesini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(7 + 3) + 2\sqrt{7 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Parantez içindeki köklü ifadeyi düzenleyelim.
\( = (2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( = 2(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{2} \cdot ((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2) = 4\sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 21:
\( \sqrt[4]{a^3} \) sayısı \( a^{\frac{2}{3}} \) sayısından \( \%25 \) daha büyük olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterSoruda verilen ilişkiyi eşitlik olarak yazalım.
\( \sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{2}{3}} \cdot (1 + \dfrac{25}{100}) \)
\( a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot \dfrac{5}{4} \)
\( \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{1}{12}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a = (\dfrac{5}{4})^{12} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 22:
\( x = 14 - 6\sqrt{5} \) olduğuna göre, \( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterx'i tam kare şeklinde yazalım.
\( x = 14 - 2\sqrt{45} \)
\( = (9 + 5) - 2\sqrt{9 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{9} - \sqrt{5})^2 \)
\( = (3 - \sqrt{5})^2 \)
Bulduğumuz \( x \) değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \)
\( = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + 4 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{1}{3 - \sqrt{5}} \)
Kesirli ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} \)
\( = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 23:
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 7 + \sqrt{40} = (5 + 2) + 2\sqrt{5 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)
\( 8 + \sqrt{48} = (6 + 2) + 2\sqrt{6 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \)
\( 11 + \sqrt{120} = (6 + 5) + 2\sqrt{6 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 \)
Değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}} - \dfrac{4}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \)
Kesirlerin pay ve paydalarını paydaların eşlenikleri ile çarpalım.
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
\( = 0 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 24:
\( \sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{28} + 29}{\sqrt{28} - 1}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydadaki köklü ifadeden kurtulmak için paydayı eşleniği olan \( \sqrt{28} + 1 \) ile genişletelim.
\( \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28} - 1)(\sqrt{28} + 1)}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28})^2 - 1}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
Paydaki ilk çarpanı parantez karesi şeklinde yazalım.
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( 2\sqrt{28} + 29 = 2\sqrt{28 \cdot 1} + 28 + 1 \)
\( a = \sqrt{28}, \quad b = 1 \) olmak üzere,
\( = (\sqrt{28} + 1)^2 \)
Denklemde yerine yazalım.
\( x = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^2(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^3}{27}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{28} + 1}{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 25:
\( x = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} \) olduğuna göre, \( x^2 - 6x - 4 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi tam kareye tamamlamak için \( -4 = 9 - 13 \) yazalım.
\( x^2 - 6x + 9 - 13 = (x - 3)^2 - 13 \)
\( x \)'i yerine koyalım.
\( (3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} - 3)^2 - 13 \)
\( = (\sqrt{11} - \sqrt{2})^2 - 13 \)
\( = 11 - 2\sqrt{11}\sqrt{2} + 2 - 13 \)
\( = -2\sqrt{22} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 26:
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterEn içteki köklü ifadeden başlayarak köklerden kurtulmaya çalışalım.
\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \) ifadesini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{9 + 5 + 2\sqrt{9 \cdot 5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} \)
\( = 3 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4 \cdot (3 + \sqrt{5})}} = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 12 + 4\sqrt{5}}} \)
\( = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} \)
\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \) ifadesini yine bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{4 + 5 + 2\sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} \)
\( = 2 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5}} \)
\( = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
KAREKÖKLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI
Kareköklü sayılar konu anlatımı; bütün konu başlıkları detaylı olarak örnek soru çözümleri ile anlatılmıştır. Daha fazla çözümlü soru veya online test çözmek istiyorsanız konu anlatımı sonundaki linkleri kullanınız.
KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI
Karekök içindeki sayı karesel olarak yazılabilen bir sayı ise bu sayı karekök dışına çıkarılabilir. Karekök içindeki üslü sayı var ise; üssün yarısını alarak karekök dışına çıkarabilirsiniz. Örnekleri dikkatlice inceleyiniz.
Örnekler
Karekök içindeki sayıları kök dışına çıkarırken daha hızlı işlem yapabilmek için 1'den 20 ye kadar olan sayıların karesini ezbere bilmenizde fayda var. Böylece hem üslü sayılar konusunda hem de kareköklü sayılar konusundaki işlemleri çok daha hızlı bir şekilde çözebilirsiniz. Aşağıda 400'e kadar ki sayılar arasından karekök dışına çıkabilen sayıları yazdım. Çokça soru çözdüğünüzde de zaten ister istemez ezberlemiş olacaksınız.
KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASIKareköklü Sayılar Konu Anlatımı
Kareköklü bir sayının kat sayısını kök içine almak için; kat sayının karesini alarak kök içindeki sayı ile çarpar ve kök içinde yazarız.
Örnekler
Yukarıdaki örneklerde de görüldüğü üzere, karekök dışındaki bir sayıyı karekök içinde almak için tek yapmamız gereken; Karekök dışındaki sayının karesini alarak, karekök içindeki sayı ile çarpmak ve sonucu karekök içinde yazmaktır.
RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜKareköklü Sayılar Konu Anlatımı
Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır. Yani, payın karekökünü bulup paya, paydanın karekökünü bulup paydaya yazarız.
Tam sayılı kesirleri ise öncelikle bileşik kesre çevirip daha sonra kareköklerini buluruz.
Örnekler
KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a Kök b BİÇİMİNDE YAZMAKareköklü SayılarKareköklü bir sayıyı a kök b biçiminde yazma işlemini iki farklı yoldan yapabilirsiniz.
» Karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Karesel olarak yazılan sayı karekök dışına çıkarılır.
» Karekök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak da kök dışına çıkarabilirsiniz.
Sizde çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkarmayı yapabilirsiniz.
Her iki çözüm yolu da aynı kapıya çıkıyor aslında ama bazen doğru çarpanları bulamayacağımız büyük bir sayı ile karşılaşabiliriz. O zaman asal çarpanlarına ayırarak karekök dışına çıkarma yolunu tercih ederiz.
KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
Kareköklü sayılarda sıralama işlemi yaparken; Verilen kareköklü ifadelerin karekök dışına yaklaşık olarak kaç çıktığını bularak da yapabiliriz ama ben size daha pratik ve güvenilir olan yoldan sıralama yapmanızı öneririm. Şöyle ki;
Verilen kareköklü ifadelerde karekök dışında bir sayı var ise bu sayıyı karekök içine alınız. Hepsini kök içine aldığınızda sayısal değeri büyük olan sayı daha büyük olacaktır. Aynı doğal sayılarda yaptığınız sıralama işlemi gibi yani. Ama büyün sayıların karekök içinde olması gerekiyor. Soruda verilen sayıların hepsi zaten karekök içinde ise o zaman sayısal değeri büyük olan daha büyüktür diyebilirsiniz. Örnekleri incelediğinizde daha iyi kavrayacaksınız.
Kareköklü sayılarda sıralama işlemi için daha fazla örnek soru çözmeye ihtiyaç yok bence, çünkü yapmanız gereken şey çok kolay. Verilen bütün sayıları karekök içine aldıktan sonra doğal sayılarda sıralama yapıyormuş gibi sıralama yapmalısınız.
KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ
Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken kökler içindeki sayıların aynı olması gerekiyor. Eğer aynı değil ise önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır.
Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise; katsayılar toplanır ve kat sayı olarak yazılır. Daha Sonra ortak kök kat sayının sağına çarpım durumunda yazılır.
Dikkat: Katsayısında herhangi bir sayı bulunmayan kareköklü sayıların kat sayısını 1 olarak almayı unutmayınız.
Kareköklerin içindeki sayılar farklı ise; Önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır, daha sonra kat sayılar arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi görüldüğü gibi çok kolay bir işlemdir. Önemli olan karekök içindeki sayıları aynı olmasıdır. Böylece kat sayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yaparak sonucu rahatlıkla bulabilirsiniz.
Kareköklü sayılarda dört işlemi doğru ve hızlı bir şekilde yapabilmenin yolu verilen sayıları doğru bir şekilde karekök dışına çıkarmak ile mümkündür. 1 den 20 ye kadar ki sayıların karesini ezbere bilirseniz, verilen kareköklü sayıları da rahatlıkla karekök dışına çıkarabilirsiniz.
Kareköklü Sayılar Çözümlü Sorular bölümünden daha fazla örnek soru çözümüne ulaşabilir veya online Karekök Testlerimize katılarak kendinizi değerlendirebilirsiniz.
KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; Kat sayılar çarpılıp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içinde verilen sayılar çarpılıp, sonucu kök içine yazılır. En son olarak kök dışına çıkabilen sayı varsa çarpan olarak kök dışına çıkarılır.
Kareköklü Bir Sayının Karesini Alma
Kareköklü bir sayının karesini aldığınızda, kök kalkar. Kareköklü sayının katsayısı var ise, katsayının karesi alınır.
KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken; Kat sayılar bölünüp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içindeki sayılar bölünerek sonucu kök içine yazılır. Son olarak sadeleştirmeler yapılıp kök dışına çıkabilen sayı varsa kök dışına çarpan olarak çıkarılır.
Örneklerde de görüldüğü üzere tek yapmamız gereken katsayıları birbirine bölüp katsayı olarak yazmak, karekök içindeki sayıları birbirine bölüp kök içinde katsayının yanına yazmaktır. Kareköklü bir sayıyı doğal sayıya kesinlikle bölmeyiniz. Sadece kareköklü sayıları birbirine bölebilirsiniz.
ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKÜKareköklü Sayılar Konu AnlatımıOndalık kesirlerin karekökü iki farklı yoldan bulunabilir. Hangi yol daha kolayınıza gelirse soruları o yoldan çözebilirsiniz.
1.Yol : Verilen ondalıklı kesir, rasyonel sayı biçiminde yazılarak karekökleri alınabilir. Örnekleri inceleyiniz.
2.Yol : Ondalık kesirlerin virgülden sonraki basamak sayıları çift ise, tam kare kökleri alınabilir. İlk önce virgül yokmuş gibi sayı karekök dışına çıkarılır. Daha sonra, virgülden sonraki her iki basamak için bir basamak sağdan sola doğru virgülle ayırırız.
Benzer İçerikler
KAREKÖKLÜ SAYILAR ÇÖZÜMLÜ SORULAR
KAREKÖKLÜ SAYILAR 8.SINIF TEST ÇÖZ
KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI
KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI
RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ
KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a Kök b BİÇİMİNDE YAZMA
KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ
kaynağı değiştir]
Köklü İfade İşlem Kuralları
SORU 1:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
aşağıdaki ifadelerden hangisinin karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamaz?
(a) \( 28 + 16\sqrt{3} \)
(b) \( 52 + 16\sqrt{3} \)
(c) \( 67 + 16\sqrt{3} \)
(d) \( 88 + 16\sqrt{3} \)
(e) \( 193 + 16\sqrt{3} \)
Çözümü GösterSeçeneklerdeki ifadelerin tümü \( m + 16\sqrt{3} \) şeklindedir. Buna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( \sqrt{m + 16\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( m + 16\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + (b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 \)
\( = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} \)
Eşitliğin iki tarafında \( \sqrt{3} \) ifadelerinin katsayıları için \( 16 = 2ab \) eşitliğini sağlayan tüm \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayı değerlerini yazalım.
\( a = 1, \quad b = 8 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 1^2 + 3 \cdot 8^2 = 193 \)
Bu durumda cevap \( 193 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 2, \quad b = 4 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \cdot 4^2 = 52 \)
Bu durumda cevap \( 52 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 4, \quad b = 2 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 4^2 + 3 \cdot 2^2 = 28 \)
Bu durumda cevap \( 28 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 8, \quad b = 1 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 8^2 + 3 \cdot 1^2 = 67 \)
Bu durumda cevap \( 67 + 16\sqrt{3} \) olur.
Buna göre karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamayacak olan ifade (d) seçeneğidir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( x \) asal sayı, \( b \) doğal sayıdır.
Buna göre \( \sqrt[3]{x + 19} = b \) işleminde \( x \)'in alabileceği en küçük değer nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt[3]{x + 19} = b \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( x + 19 = b^3 \)
\( x = b^3 - 19 \)
Buna göre küpünün 19 eksiği bir asal sayı olan en küçük \( x \) sayısını bulmalıyız. Farklı \( b \) sayıları için yukarıdaki ifadeyi hesaplayalım.
\( 3^3 - 19 = 8 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 4^3 - 19 = 45 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 5^3 - 19 = 106 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 6^3 - 19 = 197 \Longrightarrow \) Asal
Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük değer 197 olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( \sqrt{1800} \) metre uzunluğundaki bir ipin yarısı her biri \( 5\sqrt{2} \) metre uzunluğunda olacak şekilde kaç parçaya ayrılabilir?
Çözümü Göster\( \dfrac{\sqrt{1800} \cdot \frac{1}{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{1800}}{10\sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{1800}}{\sqrt{200}} = \sqrt{\dfrac{1800}{200}} \)
\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( \dfrac{6\sqrt{243}}{\sqrt{7}} + \dfrac{6\sqrt{112}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadelerin hepsini kök dışına çıkaralım.
\( \dfrac{6 \cdot 9\sqrt{3}}{ \sqrt{7}} + \dfrac{6 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)
Tüm kesirlerin paydalarını \( \sqrt{21} \)'de eşitleyelim.
\( = \dfrac{54\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} + \dfrac{24\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{21}} - \dfrac{89\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} \)
\( = \dfrac{162 + 168 - 267}{\sqrt{21}} = \dfrac{63}{\sqrt{21}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı \( \sqrt{21} \) ile çarpalım.
\( = \dfrac{63 \cdot \sqrt{21}}{21} = 3\sqrt{21} \) olarak buluruz.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( (\sqrt[8]{\sqrt[3]{7^8}})^9 \cdot (\sqrt[3]{\sqrt[8]{7^9}})^8 \)
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterKöklü ifadeleri üslü ifade biçiminde yazalım.
\( (\sqrt[8]{7^{\frac{8}{3}}})^9 \cdot (\sqrt[3]{7^{\frac{9}{8}}})^8 \)
\( = (7^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8}})^9 \cdot (7^{\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3}})^8 \)
\( = (7^{\frac{1}{3}})^9 \cdot (7^{\frac{3}{8}})^8 \)
\( = 7^3 \cdot 7^3 = 7^6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( \sqrt[4]{(9! + 10! + 11!) \cdot A} \) işleminin sonucunu rasyonel yapan en küçük \( A \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \sqrt[4]{(9! + 10 \cdot 9! + 11 \cdot 10 \cdot 9!) \cdot A} \)
\( = \sqrt[4]{9! \cdot (1 + 10 + 110) \cdot A} = \sqrt[4]{9! \cdot 121 \cdot A} \)
Kök içindeki ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.
\( = \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^2 \cdot A} \)
Köklü ifadenin derecesi 4 olduğu için, ifadenin rasyonel olabilmesi tüm asal çarpanların üsleri 4 ya da 4'ün bir tam sayı katı olmalıdır.
Buna göre bu ifadeyi rasyonel hale getirecek en küçük \( A \) sayısı içinde 2 çarpanı 1 kez, 5 ve 7 çarpanları 3'er kez, 11 çarpanı da 2 kez bulunmalıdır.
\( A = 2^1 \cdot 5^3 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{3} + 1} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^2} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \)
İkinci ve üçüncü çarpanların dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^3} \)
İkinci çarpanın derecesini ve kök içinin üssünü 3'e bölelim.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + 1} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( \sqrt{\sqrt{20} + \sqrt{45}} \cdot (\sqrt[4]{80} - \sqrt[4]{5}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki sayıları asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 5} + \sqrt{3^2 \cdot 5}} \cdot (\sqrt[4]{2^4 \cdot 5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} \cdot (2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{5\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5} \)
Birinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{(5\sqrt{5})^2} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{5}\)
\( = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5} = \sqrt[4]{5^4} = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( \sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3} = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) eşitliklerini birbiri ile çarpalım.
\( A \cdot B = (\sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3})(\sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3}) \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = (\sqrt{7 + x})^2 - (\sqrt{x + 3})^2 \)
\( = (7 + x) - (x + 3) \)
\( A \cdot B = 4 \)
\( B = \dfrac{4}{A} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 10:
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt[3]{3} - 1 = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü GösterKüp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( B \) ifadesi ile \( A \) ifadesinin paydası bir küp farkı özdeşliğinin iki çarpanıdır.
\( A \) ifadesinin payını ve paydasını \( \sqrt[3]{3} - 1 \) ile çarpalım.
\( A = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{2} = \dfrac{B}{2} \)
\( B \)'yi yalnız bırakalım.
\( B = 2A \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 11:
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{10} + \sqrt{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİki çarpanı birbiri ile çarpabilmek için önce derecelerini eşitleyelim.
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{20} + (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 2\sqrt{20}} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 4\sqrt{5}} \)
Derecelerini eşitlediğimiz köklü ifadeleri çarpalım.
\( = \sqrt[4]{(3 - \sqrt{5}) \cdot (12 + 4\sqrt{5})} \)
\( = \sqrt[4]{36 + 12\sqrt{5} - 12\sqrt{5} - 20} \)
\( = \sqrt[4]{16} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 12:
\( \sqrt{2} = a, \quad \sqrt{3} = b, \quad \sqrt{5} = c \) olmak üzere,
\( \sqrt[4]{0,036} \) ifadesinin \( a \), \( b \) ve \( c \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü GösterSorudaki ifadeyi asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt[4]{\dfrac{36}{1000}} = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{10^3}} \)
\( = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\dfrac{3^2}{2 \cdot 5^3}} \)
\( = \dfrac{\sqrt[4]{3^2}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5^3}} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{4} \cdot 5^\frac{3}{4}} = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{(2^\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \cdot (5^\frac{1}{2})^\frac{3}{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5})^\frac{3}{2}} \)
Köklü ifadelerin yerlerine karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{b}{a^\frac{1}{2} \cdot c^\frac{3}{2}} \)
Üslü ifadeleri köklü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{b}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{c^3}} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 13:
\( \dfrac{(\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1)}{(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1)} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSorunun çözümü için önce payı düzenleyelim.
Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Paydaki ifadeyi bir küp farkının açılımı olarak düşünebiliriz.
\( (\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9} - 1)((\sqrt[3]{9})^2 + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9})^3 - 1^3 = 8 \)
Şimdi paydayı düzenleyelim.
\( (\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İlk iki çarpana kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = ((\sqrt[4]{5})^2 - 1^2)(\sqrt{5} + 1) \)
\( = (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İki çarpana tekrar kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = (\sqrt{5})^2 - 1^1 = 4 \)
Pay ve paydanın sadeleştirilmiş hallerini birbirine bölelim.
\( \dfrac{8}{4} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 14:
\( \sqrt[4]{4 + \sqrt{12}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \)
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{3} - 1)^2} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3 - 2\sqrt{3} + 1} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{4 - 2\sqrt{3}} \)
\( = \sqrt[4]{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt[4]{4^2 - (2\sqrt{3})^2} \)
\( = \sqrt[4]{16 - 12} = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 15:
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{64}, \quad \sqrt[b]{27} = \sqrt[c]{81} \) ve
\( a \cdot b \cdot c = 12 \) olduğuna göre, \( a + b + c \) kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadelerin içini düzenleyelim.
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{4^3} \)
\( \sqrt[b]{3^3} = \sqrt[c]{3^4} \)
Köklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.
\( 4^{\frac{1}{a}} = 4^{\frac{3}{b}} \)
\( 3^{\frac{3}{b}} = 3^{\frac{4}{c}} \)
Tabanları -1, 0, 1'den farklı ve birbirine eşit iki üslü ifade birbirine eşitse üsleri de eşittir.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} \)
\( \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} \)
Buna göre orantı sabiti \( \frac{1}{k} \) olacak şekilde aşağıdaki orantıyı yazabiliriz.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{k} \)
\( a = k, \quad b = 3k, \quad c = 4k \)
\( k \cdot 3k \cdot 4k = 12k^3 = 12 \)
\( k = 1 \)
\( a = k = 1, \quad b = 3k = 3, \quad c = 4k = 4 \)
\( a + b + c = 1 + 3 + 4 = 8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 16:
\( \sqrt{x} + 1 = \sqrt{6} \) olduğuna göre, \( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt{x} = \sqrt{6} - 1 \)
\( (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{6} - 1)^2 \)
\( x = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6} \)
Bu değeri sonucu istenen işlemde yerine koyalım.
\( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10}{\sqrt{6} - 1} \)
İkinci terimin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) } \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{5} \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + 2(\sqrt{6} + 1) \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + 2 \)
\( = 9\) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 17:
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{7 - \sqrt{40}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÖnce paydayı düzenleyelim.
Köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{7 - \sqrt{4 \cdot 10}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} \)
\( = \sqrt{(5 + 2) - 2\sqrt{5 \cdot 2}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Soruda verilen işlem aşağıdaki şekilde olur.
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 18:
\( \sqrt{\sqrt{28 + 8\sqrt{12}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİçteki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{28 + (2 \cdot 4)\sqrt{12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(16 + 12) + 2\sqrt{16 \cdot 12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{16} + \sqrt{12})^2}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{16} + \sqrt{12}} \)
\( = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \)
Aynı işlemi tekrarlayalım.
\( = \sqrt{(3 + 1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} \)
\( = \sqrt{3} + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 19:
\( \sqrt{11 + 4\sqrt{6}} - \sqrt{11 - 4\sqrt{6}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( \sqrt{11 + 2\sqrt{6 \cdot 4}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{6 \cdot 4}} \)
\( = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{24}} \)
Dıştaki köklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = \sqrt{(8 + 3) + 2\sqrt{8 \cdot 3}} - \sqrt{(8 + 3) - 2\sqrt{8 \cdot 3}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{3})^2} - \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{3})^2} \)
\( = (\sqrt{8} + \sqrt{3}) - (\sqrt{8} - \sqrt{3}) \)
\( = 2\sqrt{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 20:
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot (\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci köklü ifadeyi \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) ile çarpalım.
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{(\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}} \)
\( \sqrt{10 + 2\sqrt{21}} \) ifadesini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(7 + 3) + 2\sqrt{7 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Parantez içindeki köklü ifadeyi düzenleyelim.
\( = (2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( = 2(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{2} \cdot ((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2) = 4\sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 21:
\( \sqrt[4]{a^3} \) sayısı \( a^{\frac{2}{3}} \) sayısından \( \%25 \) daha büyük olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterSoruda verilen ilişkiyi eşitlik olarak yazalım.
\( \sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{2}{3}} \cdot (1 + \dfrac{25}{100}) \)
\( a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot \dfrac{5}{4} \)
\( \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{1}{12}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a = (\dfrac{5}{4})^{12} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 22:
\( x = 14 - 6\sqrt{5} \) olduğuna göre, \( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterx'i tam kare şeklinde yazalım.
\( x = 14 - 2\sqrt{45} \)
\( = (9 + 5) - 2\sqrt{9 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{9} - \sqrt{5})^2 \)
\( = (3 - \sqrt{5})^2 \)
Bulduğumuz \( x \) değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \)
\( = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + 4 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{1}{3 - \sqrt{5}} \)
Kesirli ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} \)
\( = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 23:
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 7 + \sqrt{40} = (5 + 2) + 2\sqrt{5 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)
\( 8 + \sqrt{48} = (6 + 2) + 2\sqrt{6 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \)
\( 11 + \sqrt{120} = (6 + 5) + 2\sqrt{6 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 \)
Değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{120}}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}} - \dfrac{4}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \)
Kesirlerin pay ve paydalarını paydaların eşlenikleri ile çarpalım.
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
\( = 0 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 24:
\( \sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{28} + 29}{\sqrt{28} - 1}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydadaki köklü ifadeden kurtulmak için paydayı eşleniği olan \( \sqrt{28} + 1 \) ile genişletelim.
\( \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28} - 1)(\sqrt{28} + 1)}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28})^2 - 1}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
Paydaki ilk çarpanı parantez karesi şeklinde yazalım.
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( 2\sqrt{28} + 29 = 2\sqrt{28 \cdot 1} + 28 + 1 \)
\( a = \sqrt{28}, \quad b = 1 \) olmak üzere,
\( = (\sqrt{28} + 1)^2 \)
Denklemde yerine yazalım.
\( x = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^2(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^3}{27}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{28} + 1}{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 25:
\( x = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} \) olduğuna göre, \( x^2 - 6x - 4 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi tam kareye tamamlamak için \( -4 = 9 - 13 \) yazalım.
\( x^2 - 6x + 9 - 13 = (x - 3)^2 - 13 \)
\( x \)'i yerine koyalım.
\( (3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} - 3)^2 - 13 \)
\( = (\sqrt{11} - \sqrt{2})^2 - 13 \)
\( = 11 - 2\sqrt{11}\sqrt{2} + 2 - 13 \)
\( = -2\sqrt{22} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 26:
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterEn içteki köklü ifadeden başlayarak köklerden kurtulmaya çalışalım.
\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \) ifadesini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{9 + 5 + 2\sqrt{9 \cdot 5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} \)
\( = 3 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4 \cdot (3 + \sqrt{5})}} = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 12 + 4\sqrt{5}}} \)
\( = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} \)
\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \) ifadesini yine bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{4 + 5 + 2\sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} \)
\( = 2 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5}} \)
\( = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
KAREKÖKLÜ SAYILAR KONU ANLATIMI
Kareköklü sayılar konu anlatımı; bütün konu başlıkları detaylı olarak örnek soru çözümleri ile anlatılmıştır. Daha fazla çözümlü soru veya online test çözmek istiyorsanız konu anlatımı sonundaki linkleri kullanınız.
KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI
Karekök içindeki sayı karesel olarak yazılabilen bir sayı ise bu sayı karekök dışına çıkarılabilir. Karekök içindeki üslü sayı var ise; üssün yarısını alarak karekök dışına çıkarabilirsiniz. Örnekleri dikkatlice inceleyiniz.
Örnekler
Karekök içindeki sayıları kök dışına çıkarırken daha hızlı işlem yapabilmek için 1'den 20 ye kadar olan sayıların karesini ezbere bilmenizde fayda var. Böylece hem üslü sayılar konusunda hem de kareköklü sayılar konusundaki işlemleri çok daha hızlı bir şekilde çözebilirsiniz. Aşağıda 400'e kadar ki sayılar arasından karekök dışına çıkabilen sayıları yazdım. Çokça soru çözdüğünüzde de zaten ister istemez ezberlemiş olacaksınız.
KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASIKareköklü Sayılar Konu Anlatımı
Kareköklü bir sayının kat sayısını kök içine almak için; kat sayının karesini alarak kök içindeki sayı ile çarpar ve kök içinde yazarız.
Örnekler Yukarıdaki örneklerde de görüldüğü üzere, karekök dışındaki bir sayıyı karekök içinde almak için tek yapmamız gereken; Karekök dışındaki sayının karesini alarak, karekök içindeki sayı ile çarpmak ve sonucu karekök içinde yazmaktır.
RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜKareköklü Sayılar Konu Anlatımı
Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır. Yani, payın karekökünü bulup paya, paydanın karekökünü bulup paydaya yazarız.
Tam sayılı kesirleri ise öncelikle bileşik kesre çevirip daha sonra kareköklerini buluruz.
Örnekler
KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a Kök b BİÇİMİNDE YAZMAKareköklü SayılarKareköklü bir sayıyı a kök b biçiminde yazma işlemini iki farklı yoldan yapabilirsiniz.
» Karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Karesel olarak yazılan sayı karekök dışına çıkarılır.
» Karekök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak da kök dışına çıkarabilirsiniz.
Sizde çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkarmayı yapabilirsiniz.
Her iki çözüm yolu da aynı kapıya çıkıyor aslında ama bazen doğru çarpanları bulamayacağımız büyük bir sayı ile karşılaşabiliriz. O zaman asal çarpanlarına ayırarak karekök dışına çıkarma yolunu tercih ederiz.
KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
Kareköklü sayılarda sıralama işlemi yaparken; Verilen kareköklü ifadelerin karekök dışına yaklaşık olarak kaç çıktığını bularak da yapabiliriz ama ben size daha pratik ve güvenilir olan yoldan sıralama yapmanızı öneririm. Şöyle ki;
Verilen kareköklü ifadelerde karekök dışında bir sayı var ise bu sayıyı karekök içine alınız. Hepsini kök içine aldığınızda sayısal değeri büyük olan sayı daha büyük olacaktır. Aynı doğal sayılarda yaptığınız sıralama işlemi gibi yani. Ama büyün sayıların karekök içinde olması gerekiyor. Soruda verilen sayıların hepsi zaten karekök içinde ise o zaman sayısal değeri büyük olan daha büyüktür diyebilirsiniz. Örnekleri incelediğinizde daha iyi kavrayacaksınız.
Kareköklü sayılarda sıralama işlemi için daha fazla örnek soru çözmeye ihtiyaç yok bence, çünkü yapmanız gereken şey çok kolay. Verilen bütün sayıları karekök içine aldıktan sonra doğal sayılarda sıralama yapıyormuş gibi sıralama yapmalısınız.
KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ
Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken kökler içindeki sayıların aynı olması gerekiyor. Eğer aynı değil ise önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır.
Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise; katsayılar toplanır ve kat sayı olarak yazılır. Daha Sonra ortak kök kat sayının sağına çarpım durumunda yazılır.
Dikkat: Katsayısında herhangi bir sayı bulunmayan kareköklü sayıların kat sayısını 1 olarak almayı unutmayınız.
Kareköklerin içindeki sayılar farklı ise; Önce karekök içleri aynı yapılmaya çalışılır, daha sonra kat sayılar arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi görüldüğü gibi çok kolay bir işlemdir. Önemli olan karekök içindeki sayıları aynı olmasıdır. Böylece kat sayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yaparak sonucu rahatlıkla bulabilirsiniz.
Kareköklü sayılarda dört işlemi doğru ve hızlı bir şekilde yapabilmenin yolu verilen sayıları doğru bir şekilde karekök dışına çıkarmak ile mümkündür. 1 den 20 ye kadar ki sayıların karesini ezbere bilirseniz, verilen kareköklü sayıları da rahatlıkla karekök dışına çıkarabilirsiniz.
Kareköklü Sayılar Çözümlü Sorular bölümünden daha fazla örnek soru çözümüne ulaşabilir veya online Karekök Testlerimize katılarak kendinizi değerlendirebilirsiniz.
KAREKÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; Kat sayılar çarpılıp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içinde verilen sayılar çarpılıp, sonucu kök içine yazılır. En son olarak kök dışına çıkabilen sayı varsa çarpan olarak kök dışına çıkarılır.
Kareköklü Bir Sayının Karesini Alma
Kareköklü bir sayının karesini aldığınızda, kök kalkar. Kareköklü sayının katsayısı var ise, katsayının karesi alınır.
KAREKÖKLÜ SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
Kareköklü sayılarda bölme işlemi yapılırken; Kat sayılar bölünüp kat sayı olarak yazılır. Daha sonra karekök içindeki sayılar bölünerek sonucu kök içine yazılır. Son olarak sadeleştirmeler yapılıp kök dışına çıkabilen sayı varsa kök dışına çarpan olarak çıkarılır.
Örneklerde de görüldüğü üzere tek yapmamız gereken katsayıları birbirine bölüp katsayı olarak yazmak, karekök içindeki sayıları birbirine bölüp kök içinde katsayının yanına yazmaktır. Kareköklü bir sayıyı doğal sayıya kesinlikle bölmeyiniz. Sadece kareköklü sayıları birbirine bölebilirsiniz.
ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKÜKareköklü Sayılar Konu AnlatımıOndalık kesirlerin karekökü iki farklı yoldan bulunabilir. Hangi yol daha kolayınıza gelirse soruları o yoldan çözebilirsiniz.
1.Yol : Verilen ondalıklı kesir, rasyonel sayı biçiminde yazılarak karekökleri alınabilir. Örnekleri inceleyiniz.
2.Yol : Ondalık kesirlerin virgülden sonraki basamak sayıları çift ise, tam kare kökleri alınabilir. İlk önce virgül yokmuş gibi sayı karekök dışına çıkarılır. Daha sonra, virgülden sonraki her iki basamak için bir basamak sağdan sola doğru virgülle ayırırız.
Benzer İçerikler
KAREKÖKLÜ SAYILAR ÇÖZÜMLÜ SORULAR
KAREKÖKLÜ SAYILAR 8.SINIF TEST ÇÖZ
KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI
KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI
RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ
KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a Kök b BİÇİMİNDE YAZMA
KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
KAREKÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ
Toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabilmesi için kök içindeki sayıların ve kuvvetlerin aynı olması gerekmektedir. Kökler aynı değilse sadeleştirilme yapılarak kökün dışına sayı çıkarılır. Dışarı çıkan katsayılar çıkarılır ya da toplanır.
![{\displaystyle (4.{\sqrt[{3}]{2}})+(2.{\sqrt[{3}]{2}})=6.{\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070192839d56915f3e82e9210e12cfbef74da3ca)
![{\displaystyle (4.{\sqrt[{3}]{2}})-(2.{\sqrt[{3}]{2}})=2.{\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04176cd3ad568b3e0f266f7d1f53f7a34fcb2258)
İç İçe Kökler[değiştir nest...
çamaşır makinesi ses çıkarması topuz modelleri kapalı huawei hoparlör cızırtı hususi otomobil fiat doblo kurbağalıdere parkı ecele sitem melih gokcek jelibon 9 sınıf 2 dönem 2 yazılı almanca 150 rakı fiyatı 2020 parkour 2d en iyi uçlu kalem markası hangisi doğduğun gün ayın görüntüsü hey ram vasundhara das istanbul anadolu 20 icra dairesi iletişim silifke anamur otobüs grinin 50 tonu türkçe altyazılı bir peri masalı 6. bölüm izle sarayönü imsakiye hamile birinin ruyada bebek emzirdigini gormek eşkiya dünyaya hükümdar olmaz 29 bölüm atv emirgan sahili bordo bereli vs sat akbulut inşaat pendik satılık daire atlas park avm mağazalar bursa erenler hava durumu galleria avm kuaför bandırma edirne arası kaç km prof dr ali akyüz kimdir venom zehirli öfke türkçe dublaj izle 2018 indir a101 cafex kahve beyazlatıcı rize 3 asliye hukuk mahkemesi münazara hakkında bilgi 120 milyon doz diyanet mahrem açıklaması honda cr v modifiye aksesuarları ören örtur evleri iyi akşamlar elle abiye ayakkabı ekmek paparası nasıl yapılır tekirdağ çerkezköy 3 zırhlı tugay dört elle sarılmak anlamı sarayhan çiftehan otel bolu ocakbaşı iletişim kumaş ne ile yapışır başak kar maydonoz destesiyem mp3 indir eklips 3 in 1 fırça seti prof cüneyt özek istanbul kütahya yol güzergahı aski memnu soundtrack selçuk psikoloji taban puanları senfonilerle ilahiler adana mut otobüs gülben ergen hürrem rüyada sakız görmek diyanet pupui petek dinçöz mat ruj tenvin harfleri istanbul kocaeli haritası kolay starbucks kurabiyesi 10 sınıf polinom test pdf arçelik tezgah üstü su arıtma cihazı fiyatları şafi mezhebi cuma namazı nasıl kılınır ruhsal bozukluk için dua pvc iç kapı fiyatları işcep kartsız para çekme vga scart çevirici duyarsızlık sözleri samsung whatsapp konuşarak yazma palio şanzıman arızası