Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

bir noktası bilinen doğru denklemi

a) Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

$A({ X }_{ 1 },{ Y }_{ 1 })$ noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemi $m=\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } }$

A(x₁, y₁) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.

$m\left( x-{ x }_{ 1 } \right) =\left( y-{ y }_{ 1 } \right)$

Örnek:

A(2,-3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm:

$m\left( x-{ x }_{ 1 } \right) =\left( y-{ y }_{ 1 } \right)$

$2\left( x-{ 2 } \right) =y-(-3)\quad \rightarrow \quad y+3=2x-4\quad \rightarrow \quad y=2x-7\quad yada\quad 0=2x-y-7\quad yada\quad y-2x+7=0$ olarak gösterilebilir.

Örnek:

Analitik düzlemde ,eğimi $\frac { 1 }{ 2 }$ ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı 3 olan doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm:

y eksenini kestiği noktada x= 0 dır yani (0,3) noktasıdır.

$y-3 = \frac { 1 }{ 2 } \left( x-0 \right) \quad \rightarrow \quad y=\frac { 1 }{ 2 } x+3$ doğrunun denklemidir.

Örnek:

A(3,2), B(-4,-3) ve C(4,1) olmak üzere, ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortayı üzerinde bulunduran doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm:

D noktası orta noktadır.

D(0,-1)

$m=\frac { 2-(-1) }{ 3 } =1$

A(3,2) veya D(0,-1) noktalarından herhangi biri alınıp denklem kurulur.

$y=1\times \left( x-0 \right) \quad \rightarrow y=x+1$

b) Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi

*x eksenini a noktasında ve y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi

seafoodplus.info

$\frac { x }{ a } =\frac { y }{ b }$

Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.

Örnek:

seafoodplus.info

Çözüm:

$\frac { x }{ -4 } +\frac { y }{ 8 } =1\quad \rightarrow \quad -2x+y=8\quad \rightarrow \quad y-2x-8=0$

c) İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

$\frac { 1 }{ mAB } =\frac { 1 }{ mBC } \quad$ eğimlerin tersleri işaretlenerek denklem kurulur.

Örnek:

A(-3,4),B(2,1) noktalarından geçen doğru denklemini bulunuz.

Çözüm:

seafoodplus.info

Oklar yönünde terimleri çıkararak eşitleyelim.

$\frac { }{ } =\frac { x-2 }{ y-1 } \quad \rightarrow \quad -5y+5=3x-6\quad \rightarrow \quad 3x+5y=0\quad$

d) Orijinden Geçen Doğrunun Denklemi

Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağından

y = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.

O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi

$y=mx$
Doğru denklemi ax + by = 0 seafoodplus.infoğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.

Doğru denklemi ax + by = 0 olur.

Örnek:

A(-1,3) noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir?

Çözüm:

$y=mx$

$3=m(-1)\quad \rightarrow \quad m=-3$ olur.

y=mx te m yerine -3 yazılırsa

y=-3x denklemidir.

Örnek:

Eğimi 2 olan ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir?

Çözüm:

y=mx

y=2x olur.

*Yukardaki şekilde görüldüğü gibi dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya y=x doğrusu denir.

*Yukardaki şekilde görüldüğü gibi dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya y=-x doğrusu denir.

* y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.

e) Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

I) Eksen doğruları

Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur.y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.

II) x eksenine paralel doğrular

y = k doğrusu; y eksenini k noktasında keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.

Örnek:

A(1,2) ve (3,2) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

Çözüm:

y=2

III) y eksenine paralel doğrular

x = k doğrusu;x eksenini k noktasında keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.

Örnek:

A(6,9) noktasından geçen ve eğim açısının ölçüsü 90^o olan doğrunun denklemi nedir?

Çözüm:

seafoodplus.info

x=6

Bunu beğen:

BeğenYükleniyor

Doğrunun Denkleminin Bulunması

Bir doğruyu çizebilmek için ya doğrunun iki farklı noktası ya da bir noktası ve eğimi bilinmelidir. Buna göre bir doğrunun denklemini yazabilmemiz için aşağıdakilerden birine ihtiyacımız vardır.

Doğrunun bir noktası ve eğimi
Doğrunun herhangi iki farklı noktası
Doğrunun eksenleri kestiği noktalar

Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunabilir.

$ A(x_1, y_1) $ noktasından geçen ve eğimi $ m $ olan doğrunun denklemi:

$ y - y_1 = m(x - x_1) $

ÖRNEK:

$ A(3, -5) $ noktasından geçen ve eğimi $ m = -2 $ olan doğrunun denklemi:

$ y - (-5) = -2(x - 3) $

$ y + 5 = -2x + 6 $

$ y = -2x + 1 $

Bu denklemde $ m $ yalnız bırakıldığında denklemin verilen nokta ile arasındaki eğimin $ m $'ye eşit olduğu noktaların geometrik yer denklemi olduğu görülebilir.

$ m = \dfrac{y - y_1}{x - x_1} $

İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

Farklı iki noktası bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunabilir.

$ A(x_1, y_1) $ ve $ B(x_2, y_2) $ noktalarından geçen doğrunun denklemi:

$ \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $

ÖRNEK:

$ A(-2, -3) $ ve $ B(4, 9) $ noktalarından geçen doğrunun denklemi ve eğimi:

$ \dfrac{y - 9}{x - 4} = \dfrac{9 - (-3)}{4 - (-2)} $

$ \dfrac{y - 9}{x - 4} = \dfrac{12}{6} $

$ y - 9 = 2(x - 4) $

$ y = 2x + 1 $

$ m = 2 $

Bu formülde eşitliğin sağ tarafı verilen iki nokta arasındaki eğime eşit olduğu için bu formül bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemine de dönüştürülebilir.

$ \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m $

Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğrunun Denklemi

Bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar biliniyorsa yukarıdaki iki noktası bilinen doğrunun denklem formülüne ek olarak aşağıdaki formül de kullanılabilir.

$ \dfrac{x}{x_1} + \dfrac{y}{y_2} = 1 $

Bu denklem aşağıdaki biçimde de yazılabilir.

$ y_2 \cdot x + x_1 \cdot y = x_1 \cdot y_2 $

Doğrunun eğimi: $ m = \tan{\alpha} = -\dfrac{y_2}{x_1} $

ÖRNEK:

Eksenleri $ A(3, 0) $ ve $ B(0, 4) $ noktalarında kesen doğrunun denklemi ve eğimi:

$ \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 $

$ 4x + 3y = 12 $

$ y = -\dfrac{4}{3}x + 4 $

$ m = -\dfrac{4}{3} $

İSPATI GÖSTER

İki noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.

$ \dfrac{y - y_2}{x - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $

İçleri aralarında yer değiştirelim.

$ \dfrac{y - y_2}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_2}{x_2 - x_1} $

Bu iki noktanın bildiğimiz birer koordinatını denklemde yerine koyalım.

$ A(x_1, y_1) = A(x_1, 0) $

$ B(x_2, y_2) = A(0, y_2) $

$ \dfrac{y - y_2}{y_2 - 0} = \dfrac{x - 0}{0 - x_1} $

$ \dfrac{y - y_2}{y_2} = -\dfrac{x}{x_1} $

Eşitliğin sol tarafını yeniden düzenleyelim.

$ \dfrac{y}{y_2} - \dfrac{y_2}{y_2} = -\dfrac{x}{x_1} $

$ \dfrac{y}{y_2} - 1 = -\dfrac{x}{x_1} $

Değişkenli terimleri sol tarafa alırsak eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemini elde ederiz.

$ \dfrac{x}{x_1} + \dfrac{y}{y_2} = 1 $

İspatta hata bildirin

Orijinden Geçen Doğrunun Denklemi

Orijinden geçen doğrular $ O(0, 0) $ noktasından geçtiği için sabit terimleri sıfırdır ve denklemleri aşağıdaki şekildedir.

$ y = mx + 0 = mx $

ÖRNEK:

Orijinden geçen ve eğimi $ m = 4 $ olan doğrunun denklemi:

$ y = 4x $

SORU 1:

$ A(2, 3) $ noktasından geçen ve eğimi sıfır olan doğrunun denklemi nedir?

Çözümü Göster

Eğimi sıfır olan doğru $ x $ eksenine paralel yatay bir doğrudur ve tüm $ x $ değerleri için $ y $ değeri sabittir.

Bu doğru $ A(2, 3) $ noktasından geçtiği için denklemi $ y = 3 $ olur.

Denklemi bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklem formülü ile de bulabiliriz.

$ y - y_1 = m(x - x_1) $

$ y - 3 = 0(x - 2) $

$ y = 3 $

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

$ x = 3t + 1 $

$ y = 2t - 3 $

şeklinde parametrik denklemi olan doğrunun kapalı denklemi nedir?

Çözümü Göster

Verilen parametrik denklemlerde birinci denklemde $ t $'yi yalnız bırakıp ikinci denklemde $ t $ yerine koyalım.

$ x = 3t + 1 \Longrightarrow t = \dfrac{x - 1}{3} $

$ y = 2t - 3 \Longrightarrow y = 2(\dfrac{x - 1}{3}) - 3 $

$ y + 3 = 2(\dfrac{x - 1}{3}) $

$ 3y + 9 = 2x - 2 $

$ 3y - 2x + 11 = 0 $ bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

Analitik düzlemde $ 2x + 3y - 7 = 0 $ doğrusuna paralel ve $ A(-1, 2) $ noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Çözümü Göster

Denklemi $ ax + by + c = 0 $ formunda olan doğrunun eğimi $ m = -\frac{a}{b} $ olur.

$ m = -\dfrac{2}{3} $

$ 2x + 3y - 7 = 0 $ doğrusuna paralel tüm doğruların eğimi bu doğrunun eğimine eşittir.

$ A(-1, 2) $ noktasından geçen ve eğimi $ -\frac{2}{3} $ olan doğrunun denklemini bulalım.

$ y - 2 = -\dfrac{2}{3}(x - (-1)) $

$ 3y - 6 = -2x - 2 $

İstenen doğrunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.

$ 2x + 3y - 4 = 0 $

Soru sorun Soruda hata bildirin

nest...

219319 219320 219321 219322 219323