Devirli Ondalık Sayılar Tyt
Devirli Ondalık Sayılar
SORU 1:
\( \dfrac{0,1\overline{5} + 2,1\overline{7}}{3,\overline{45} - 1,\overline{21}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterTüm devirli ondalık sayıları kesirli sayılara çevirelim.
\( \dfrac{\dfrac{15 - 1}{90} + \dfrac{ - 21}{90}}{\dfrac{ - 3}{99} - \dfrac{ - 1}{99}} \)
\( = \dfrac{\dfrac{14 + }{90}}{\dfrac{ - }{99}} \)
\( = \dfrac{}{90} \cdot \dfrac{99}{} = \dfrac{77}{74} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( a \) ve \( b \) devirli ondalık sayılar olmak üzere,
\( a = 0,\overline{75} \) ve \( b = 0,\overline{25} \) ise \( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( a = 0,\overline{75} \Longrightarrow a = \dfrac{75}{99} \)
\( b = 0,\overline{25} \Longrightarrow b = \dfrac{25}{99} \)
\( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{\dfrac{75}{99}} + \dfrac{1}{\dfrac{25}{99}} \)
\( = \dfrac{99}{75} + \dfrac{99}{25} \)
\( = \dfrac{}{75} = \dfrac{}{25} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( x = \dfrac{1}{1,\overline{81}} \)
\( y = 0,5\overline{1} \)
\( z = \dfrac{5}{9} \) olduğuna göre,
\( x \), \( y \) ve \( z \) sayıları arasındaki sıralama nasıl olur?
Çözümü GösterTüm sayıları kesirli şekilde yazalım.
\( x = \dfrac{1}{\dfrac{ - 1}{99}} \)
\( x = \dfrac{99}{} \)
\( y = \dfrac{51 - 5}{90} = \dfrac{92}{} \)
\( z = \dfrac{5}{9} = \dfrac{}{} \)
Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( z \gt x \gt y \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( 6,1\overline{37} - 3,41\overline{2} \) farkının eşiti nedir?
Çözümü GösterSayıları normal ondalıklı sayı şeklinde yazıp birbirinden çıkaralım.
\( 6,1\overline{37} = 6, \)
\( 3,41\overline{2} = -3, \)
\( = 2, \)
\( = 2,72\overline{51} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( \dfrac{0,\overline{a}}{0,0\overline{a}} \div \dfrac{a,a}{aa} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterDevirli ondalık sayı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{0,\overline{a}}{0,0\overline{a}} \div \dfrac{a, a}{aa} \)
\( = \dfrac{\frac{a}{9}}{\frac{a}{90}} \div \dfrac{a,a \cdot 10}{aa \cdot 10} \)
\( = \dfrac{90}{9} \div \dfrac{aa}{aa \cdot 10} \)
\( = 10 \div \dfrac{1}{10} = 10 \cdot 10 = \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( 0,11\overline{3} \) devirli ondalık sayısı \( x \) pozitif tam sayısı ile çarpıldığında bir tam sayı olmaktadır.
Buna göre \( x \) en az kaçtır?
Çözümü GösterDevirli ondalık sayıyı kesirli sayıya çevirelim.
\( 0,11\overline{3} = \dfrac{ - 11}{} \)
\( = \dfrac{}{} = \dfrac{17}{} \)
17 sayısı asal olduğu için kesir daha fazla sadeleşmez.
Buna göre bu ifade ile çarpıldığında ifadeyi tam sayı yapacak \( x \) sayısı en az olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{33} = 0,\overline{ab} \) olduğuna göre, \( 9 \cdot b,\overline{a} \) çarpımının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{33} = \dfrac{66}{99} + \dfrac{21}{99} = \dfrac{87}{99} = 0,\overline{87} \)
Buna göre \( a = 8 \) ve \( b = 7 \) olur.
\( 9 \cdot 7,\overline{8} = 9 \cdot \dfrac{78 - 7}{9} = 71 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( 4,\overline{2} + 2,1\overline{7} \) toplamı en küçük hangi pozitif tam sayı ile çarpılırsa sonuç bir tam sayı olur?
Çözümü Göster\( \dfrac{42 - 4}{9} + \dfrac{ - 21}{90} = \dfrac{38}{9} + \dfrac{}{90} \)
\( = \dfrac{}{90} + \dfrac{}{90} = \dfrac{}{90} \)
\( \frac{}{90} \) ifadesinin en sade hali \( \frac{32}{5} \) olduğu için, bu sayıyla çarpıldığında pozitif tam sayı sonucu veren en küçük sayı 5 olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( \dfrac{11}{18} = 0,a\overline{b} \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( 0,a\overline{b} = \dfrac{(ab) - a}{90} = \dfrac{11}{18} = \dfrac{55}{90} \)
İki basamaklı \( (ab) \) sayısının çözümlenmiş şeklinde yazılışı \( 10a + b \) olur.
\( 10a + b - a = 55 \)
\( 9a + b = 55 \)
\( a \) ve \( b \) tek basamaklı oldukları için \( a = 6 \) ve \( b = 1 \) olmak zorundadır.
\( a \cdot b = 6 \cdot 1 = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{x,\overline{y} - x,\overline{x} + y,\overline{x} }{0,\overline{x}} = 4 \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterDevirli ondalık sayıları kesirli ifadeye çevirelim.
\( \dfrac{x,\overline{y} - x,\overline{x} + y,\overline{x} }{0,\overline{x}} \)
\( = \dfrac{\frac{(xy) - x}{9} - \frac{(xx) - x}{9} + \frac{(yx) - y}{9}}{\frac{x}{9}} \)
\( = \dfrac{(xy) - x - (xx) + x + (yx) - y}{x} \)
\( = \dfrac{10x + y - x - 10x - x + x + 10y + x - y}{x} \)
\( = \dfrac{10y}{x} = 4 \)
\( 5y = 2x \)
Değişkenler birer rakam oldukları için \( x = 5 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x \), \( y \) ve \( z \) sıfırdan farklı birer rakamdır.
\( 3x + \dfrac{1}{2y + \dfrac{z}{8}} = 9,\overline{4} \) olduğuna göre, \( x \cdot y \cdot z \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterDevirli sayıyı kesirli şekilde yazalım.
\( 3x + \dfrac{1}{2y + \dfrac{z}{8}} = 9 + \dfrac{4}{9} \)
\( 3x \) bir tam sayı, \( \frac{1}{2y + \frac{z}{8}} \) ifadesi de payı 1 ve paydası 1'den büyük olduğu için \( (0, 1) \) aralığında bir sayıdır. Dolayısıyla her iki terim sırasıyla eşitliğin sağ tarafındaki sayının tam sayı ve ondalık kısımlarına karşılık gelir.
\( 3x = 9 \Longrightarrow x = 3 \)
\( \dfrac{1}{2y + \dfrac{z}{8}} = \dfrac{4}{9} \)
\( 2y + \dfrac{z}{8} = \dfrac{9}{4} \)
\( 2y + \dfrac{z}{8} = 4 + \dfrac{1}{2} \)
Yukarıda açıkladığımız sebeple, eşitliğin solundaki iki terim sırasıyla eşitliğin sağ tarafındaki sayının tam sayı ve ondalık kısımlarına karşılık gelir.
\( 2y = 4 \Longrightarrow y = 2 \)
\( \dfrac{z}{8} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8} \)
\( z = 4 \)
\( x \cdot y \cdot z = 3 \cdot 2 \cdot 4 = 24 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 5,\overline{9} + 6,\overline{9} + 7,\overline{9} + \ldots + 15,\overline{9} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( 5,\overline{9} = \dfrac{59 - 5}{9} = 6 \)
\( 6,\overline{9} = \dfrac{69 - 6}{9} = 7 \)
\( \vdots \)
\( 15,\overline{9} = \dfrac{ - 15}{9} = 16 \)
Buna göre verilen ifade 6 - 16 arası tam sayıların toplamıdır.
\( 6 + 7 + 8 + \ldots + 16 \)
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( = (6 + 16) \cdot \dfrac{11}{2} \)
\( = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{20}{13} \) kesrinin ondalık açılımında virgülden sonraki \( 47 \). basamak kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{20}{13} = 1 + \dfrac{7}{13} \)
7'yi 13'e böldüğümüzde virgülden sonra rakamlarının (toplam 6 basamak) tekrar ettiğini görürüz.
\( \dfrac{7}{13} = 0,\overline{} \)
47'yi 6'ye böldüğümüzde kalan 5'tir, dolayısıyla virgülden sonra basamak 5. basamak ile aynıdır.
Buna göre basamak 6'dır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{0,\overline{3} + 0,\overline{4} + \ldots + 0,\overline{9}}{2,\overline{1} + 2,\overline{2} + \ldots + 2,\overline{8}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterDevirli ondalık sayıları kesirli şekilde yazalım.
\( \dfrac{\frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \ldots + \frac{9}{9}}{\frac{21 - 2}{9} + \frac{22 - 2}{9} + \ldots + \frac{28 - 2}{9}} \)
\( = \dfrac{\frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \ldots + \frac{9}{9}}{\frac{19}{9} + \frac{20}{9} + \ldots + \frac{26}{9}} \)
\( = \dfrac{\frac{3 + 4 + \ldots + 9}{9}}{\frac{19 + 21 + \ldots + 26}{9}} \)
Pay ve paydadaki kesirli ifadelerin paydaları sadeleşir.
\( = \dfrac{3 + 4 + \ldots + 9}{19 + 21 + \ldots + 26} \)
Paylardaki ardışık sayıların toplamını alalım.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( = \dfrac{(3 + 9) \cdot \frac{7}{2}}{(19 + 26) \cdot \frac{8}{2}} \)
\( = \dfrac{12 \cdot 7}{45 \cdot 8} = \dfrac{7}{30} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( 0,x\overline{y} - 0,y\overline{x} = \dfrac{48}{27} \)
olduğuna göre, \( x - y \) farkı kaçtır?
Çözümü GösterDevirli ondalık sayıları kesirli ifadeye çevirelim.
\( \dfrac{(xy) - x}{90} - \dfrac{(yx) - y}{90} = \dfrac{48}{27} \)
İki basamaklı \( (xy) \) ve \( (yx) \) sayılarının çözümlemesini yapalım.
\( \dfrac{10x + y - x}{90} - \dfrac{10y + x - y}{90} = \dfrac{48}{27} \)
\( \dfrac{9x + y - 9y - x}{90} = \dfrac{16}{9} \)
\( 8x - 8y = \)
\( x - y = 20 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x, y, z \) sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere,
\( x,y\overline{z} + y,x\overline{z} = \dfrac{41}{18} \) veriliyor.
Buna göre \( x + y + z \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü GösterDevirli ondalık sayıları kesirli ifadeye çevirelim.
\( \dfrac{(xyz) - (xy)}{90} + \dfrac{(yxz) - (yx)}{90} = \dfrac{41}{18} \)
\( (xyz) - (xy) + (yxz) - (yx) = \dfrac{41}{18} \cdot 90 \)
\( (xyz) - (xy) + (yxz) - (yx) = \)
\( (xyz) \), \( (yxz) \), \( (xy) \) ve \( (yx) \) sayılarının çözümlemesini yapalım.
\( x + 10y + z - (10x + y) + y + 10x + z - (10y + x) = \)
\( 99x + 99y + 2z = \)
Değişkenler birer rakam oldukları için sadece aşağıdaki değerleri alabilirler.
\( x = 1, \quad y = 1, \quad z = 7 \)
Buna göre \( x + y + z = 1 + 1 + 7 = 9 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Devirli Ondalık Sayılar Konu Anlatımı - Toplama, &#;arpma, B&#;lme Ve &#;ıkarma İşlemleri Nasıl Yapılır?
Devirli ondalık sayılar Matematik dersi için oldukça önemli bir konudur. Kendi içerisinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri diğer sayılara göre farklı uygulanır.
Devirli Ondalık Sayılar Konu Anlatımı
Devirli ondalık sayı, ondalık şekilde yazılan rasyonel sayıların ondalık kısmında yer alan rakamlar tekrarlanmasıdır. Devirli ondalık sayılar üzerinde - işareti bulunur. Bu duruma bir örnek vermek gerekirse 0,= 0,7 şeklinde gösterilir.
Ayrıca her rasyonel sayı devirli bir ondalık sayı olarak yazılabilir. Her devirli ondalık sayı ise rasyonel sayı olarak yazılabilir. Devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevrilmesi oldukça kolaydır. Bunun için uygulanan bir formül bulunur. Bu formül şu şekildedir:
(Virgülsüz tüm sayı - Devretmeyen sayı) / (Virgülden sonra devreden rakam kadar 9, devretmeyen rakam kadar 0)
Bu formül ile kolaylıkla ondalık devirli sayılar rasyonel sayılara dönüştürülür. Buna bir örnek vermek gerekir ise;
a,bcde ( devreden rakamlar d ve e rakamlarıdır) = abcde-abc /
Bu örnekte bulunan sayı a,bcde sayısıdır. Devreden sayı ise ''de'' sayısıdır. Bu sayının rasyonel sayıya çevrilmesi için virgül kısmı kaldırılarak tüm sayıdan devretmeyen kısım çıkarılır. Daha sonra devreden sayı kadar 9, devretmeyen sayı kadar 0 yazılır. İlk bulunan sayı son bulunan sayıya bölünür. Bu sayı rasyonel sayıya çevrilir.
Devirli Ondalık Sayılar Toplama, Çarpma, Bölme ve Çıkarma İşlemleri Nasıl Yapılır?
Ondalık şekilde yazılan sayıların ondalık kısmında yer alan sayıların sürekli tekrarlanması ile devirli ondalık sayılar oluşur. Devirli ondalık sayılarda dört işlemlerin yapılması mümkündür. Toplama ve çıkarma işlerinin yapılması için virgülün aynı sırada olması gerekir. Şu şekilde örnek verebiliriz.
0,+2,14 = ?
0, sayısının devreden kısmı 0’dan sonra kısmındadır. 2,14 sayısının ise devreden kısmı virgülden sonra 14 sayısıdır.
Cevap: 0,+ 2, = 2, ( Virgülden sonra sayısı devreden sayısıdır.)
Devirli ondalık sayılarda çarpma işlemleri ise sayılar arasında virgül yokmuş gibi yapılmalıdır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar sağdan sola doğru virgül ile ayrılır. Diğer bir dört işlem ise bölme işlemidir. Devirli ondalık sayılarda bölme işleminde bölen virgülden kurtulacak şekilde 10 sayısının kuvveti ile çarpılır. Bölen sayısı da 10 sayısının kuvvetleri ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.
Devirli Sayılar Nedir, Rasyonel Ya Da İrrasyonel Midir? Devreden Sayılar Konu Anlatımı (Toplama, &#;ıkarma, &#;arpma Ve B&#;lme)
Güncelleme Tarihi:
LinkedinFlipboardLinki KopyalaYazı Tipi
LinkedinFlipboardE-postaLinki KopyalaYazı Tipi
Devirli sayılar, matematik dersinde yer alan ve sınavlarda öğrencilerin soru olarak karşısına çıkan bir konu olmaktadır. Devirli sayılar konusundan TYT ve AYT sınavlarında soru gelme ihtimali bulunmaktadır. Bu konu günlük hayatta hesaplama işlemlerinde de insanların karşısına sık sık çıkmaktadır. Peki, devirli sayılar nedir, rasyonel ya da irrasyonel midir? Devreden sayılar konu anlatımı (Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme) nedir? İşte, devirli sayılar hakkında tüm detayları ile derledik.
Devirli sayılar konusu, kuralları ve yöntemleri öğrenildikten sonra kolaylıkla yapılacak işlemler bütününden oluşmaktadır. Çeşitli sınavlarda öğrencilerin karşısına çıkan devirli sayılar konusu matematikte bazen başka problemlerin içinde de yer almaktadır.
Devirli Sayılar Nedir, Rasyonel ya da İrrasyonel midir?
Devirli sayılar, matematiğin temelini oluşturan sayıların bir çeşidi olarak ifade edilmektedir. Devirli sayılar ondalık şekilde ifade edilen rasyonel sayıların ondalık kısmında bulunan rakamların tekrarlanması sonucu bu ismi almaktadır. Matematikte devirli ondalık sayılar belirtilirken sayının üzerine - işareti konmaktadır. Her rasyonel sayı, devirli ondalık sayı olacak şekilde yazılabilmektedir. Buna karşılık her devirli sayıyı ise rasyonel sayı olarak yazmak mümkün olmaktadır. Devirli sayılar ondalık sayılara çevrilirken şu formülün kullanılması gerekmektedir:
Virgülsüz olacak şekilde sayının tümü - Devretmeyen sayı / Virgülden sonra devreden rakam miktarı kadar 9, devretmeyen rakam miktarı kadar 0 yazılması gerekmektedir.
Bu formül kullanılarak ondalık devirli sayıları rasyonel sayıya dönüştürmek mümkün olmaktadır. Bu duruma şu şekilde örnek verilmektedir:
a,bcde ( devreden sayılar d ve e sayılarıdır) = abcde-abc /
Bu örnekte yer alan sayı a,bcde sayısıdır. Devreden sayı ise ''de'' sayısı olmaktadır. Bu sayı rasyonel sayıya çevrilirken virgül kısmı kaldırılarak tüm sayıdan devretmeyen kısım çıkartılmaktadır. Daha sonra devreden rakam kadar 9, devretmeyen rakam kadar 0 yazılır. İlk bulunan sayı ile son bulunan sayı bölünür ve bu sayı rasyonel sayıya çevrilir.
Devirli sayılar rasyonel sayılar olarak ifade edilmektedir. Bu sayıların rasyonel sayı olarak kabul edilmesinin en önemli nedeni virgülden sonra devam eden sayıların düzenli bir şekilde sonsuza kadar ilerlemesi ve kesir olarak da yazılabilmesi olmaktadır. Kesir olarak belirtilebilen sayıların tamamı rasyonel sayı olmaktadır.
Devreden Sayılar Konu Anlatımı (Toplama, Çıkarma, Çarpma Ve Bölme)
Devirli sayılar, ondalık olarak yazılan sayıların ondalık kısımlarında bulunan sayıların devamlı tekrarlanması sonucu meydana gelen sayılar olarak ifade edilmektedir. Bu sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapmak mümkün olmaktadır. Bu işlemler öğrencilerin çeşitli problemlerde karşısına çıkmaktadır.
Devirli sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken dikkat edilmesi gereken en önemli husus virgülün aynı sırada yer almasına bakmak olmaktadır. Yani toplama ve çıkarma işlemleri yapıldıktan sonra elde edilen sonuç virgülün tam hizasından yine virgülle ayrılmış olmalıdır. Devirli sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin ikisi için de izlenecek çözüm yolu aynı yöntem olmaktadır. Devirli sayılarda çarpma işlemi yaparken sayıların arasında virgül bulunmuyormuş gibi düşünerek işlemin yapılması gerekmektedir.
Elde edilen sonuç, çarpılarak işlem yapılan sayıların virgülden sonra gelen basamak sayılarının toplamı kadar sağdan sola doğru virgül konularak ayrılması gerekmektedir. Devirli sayılarda bölme işlemi yapılırken de iki farklı yöntem uygulanabilmektedir. Bu yöntemlerden ilki pay ve payda ondalıklı kesir olacak şeklinde yazılarak rasyonel sayı bölmesi yapılır ve sonuca ulaşılır. Devirli sayılarda bölme işlemi için izlenecek ikinci yol ise bölen olan sayının virgülden kurtulması için 10 sayısının kuvveti ile çarpılması gerekmektedir. Bu durum sonucunda bölen sayısı 10 sayısının kuvvetleri ile çarpılır ve normal bölme işlemi yapar gibi işleme devam edilmektedir.