0 1 Nedir

Matematikte bazı kavramları ezberler ve öylesine uygularız. Bunlardan bir tanesi de karşımıza faktöriyel tanımında çıkar. Faktöriyeller konusunu lise yıllarından hatırlarsınız. Hatırlamayanlar için kısa bir giriş yapalım.

Herhangi bir ders kitabını açtığınızda karşınıza şu ifade çıkacaktır. Tanım:n doğal sayı olmak üzere, 1 den n e kadar olan doğal sayıların çarpımına ‘n faktöriyel’ denir ve n! şeklinde gösterilir. Bunu n!=1.2.3……..(n-1).n şeklinde de ifade edebiliriz. 0!=1 ve 1!=1 dir. Mesela; 5!=5.4.3.2.1=120,  4!=4.3.2.1=24,  6!=6.5.4.3.2.1=720 olur.

İşte bu tanımda kafa karıştıran nokta sıfır faktöriyelin bire eşit olduğunu söyleyen 0!=1 ifadesidir. Aslında bunun farklı gösterim biçimleri olsa da bu yazıda en basit olanını açıklamaya çalışalım. Aslında bu bir ispat değil sadece gösterim biçimi baştan bunu söylemek gerekir.

Tam açıklamasını öğrenmek isterseniz bu yazımıza göz atıp Gama fonksiyonu ile tanışmalısınız. Ancak biz bu yazıda işi daha sade dile getirebilmek adına “0 Faktöriyel Neden 1’e Eşittir?” sorusunun sezgisel bir çözümünü ele alacağız. İşe öncelikle faktöriyelin bilinen tanımı ile başlayacağız.

0 faktöriyel, içinde değer bulunmayan bir veri kümesini düzenleme yollarının sayısını bulmak anlamına gelmektedir. Genel olarak, bir sayının faktöriyeli, sayının kendisinden küçük ancak sıfırdan büyük her diğer sayılar ile çarpılması sonucunda bulunur. Örneğin 4! = 24 dendiği zaman 4 x 3 x 2 x 1 = 24 işleminin yapıldığını anlarız.

Sıfır Faktöriyel Nedir?

0 faktöriyelin 1’e eşit olmasının ilk nedeni tam olarak bizi tatmin edici bir açıklama olmasa da tanım gereğidir. Bu matematiksel olarak doğru bir açıklamadır. Faktöriyel tanımının, değeri orijinal sayıya eşit veya daha az olan tüm pozitif tamsayıların çarpımı olduğu unutulmamalıdır. Sıfır, ondan daha küçük bir pozitif tamsayıya sahip değildir. Faktöriyel kavramı permütasyon ve kombinasyon konularının temelini oluşturmaktadır.

n! diye tanımladığımız şey aslında n tane farklı nesneyi kendi içinde nasıl sıralayabileceğimizin sayısıdır. Yani 3 tane farklı gömleğinizi bir rafa sıraya dizmek isterseniz bunu 3!=6 kadar şekilde yapabilirsiniz. Peki gömlek sayınız iki olursa. Elbette o zaman cevabınız 2!=2 olacaktır. Bir tanecik gömleğiniz varsa da o zaman üzgünüz sadece bulunduğu biçimde kalacaktır :) Yani 1!=1 olacaktır.

Eğer hiç gömleğiniz yoksa işin içine biraz felsefe karışıyor. “Hiç gömleğim yok, bunu kaç farklı biçimde sıralayabilirim?” Cevabınız elbette sıralayamam olacaktır ama unutmayın bu cevap matematikte boş kümeye karşılık gelmektedir. Ve bununda sayısal bir karşılığı vardır.

Sıfır faktöriyel neden Bir Yapar sorusunun İkinci Olası cevabı

0! = 1 tanımı biraz da permütasyonlar ve kombinasyonlar için kullandığımız formüllerle de ilgilidir. Bu, sıfır faktöriyelin neden bir olduğunu açıklamaz. Ancak neden bu biçimde kabul edilmesi gerektiği konusunda bize bir fikir verir. Bir kombinasyon, sıraya bakılmaksızın bir kümenin öğelerinin gruplanmasıdır. Örneğin, {1, 2, 3} kümesini düşünün. Bu unsurları nasıl düzenlersek düzenleyelim, sonunda aynı üçlüye ulaşıyoruz.

Bu nedenle kombinasyon hesabı için kullandığımız formül C (n,r ) = n!/[r!(n – r)!]. biçimindedir. 3 elemanlı bir kümenin 3’lü kombinasyonlarını hesaplamaya kalktığımızda da payda da (3-3)! biçiminde bir ifade oluşacaktır. Bu da 0!=1 ifadesini kullanmaya bizi zorlayacaktır.

0 faktöriyelin 1 olmasının yukarıda da dediğimiz gibi başka tanımları da vardır. Ancak bu noktaya kadar aktardığımız tüm tanımlar yazının başında da eklediğimiz gibi aslında sezgiseldir. Aşağıdaki görselde Gama fonksiyonunu görüyorsunuz. Sıfır faktöriyel neden bire eşittir sorusunun asıl cevabı bu fonksiyondur.

Gama fonksiyonu matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genelleyen bir fonksiyondur. Bu tuhaf görünümlü fonksiyonu, Yunan alfabesinden büyük harf gamma ile şuna benzer Γ(z) bir biçimde yazarız. Gama fonksiyonu yardımı ile sayılar ile ilgili bazı özellikleri tanımlarız. Bunlardan bir tanesi Γ (z + 1) = z Γ (z) biçimindedir. Yukarıdaki formül, faktöriyel ve gama fonksiyonu arasındaki bağlantıyı kurar. Bu bağlantı pozitif n tamsayısı için, Γ (n) = ( n-1)! kuralı aracılığıyla kurulur. Bu da bize sıfır faktöriyel değerinin neden 1’e eşit olduğunun cevabını verir.

İleri Okumalar: Why Does Zero Factorial Equal One?; https://www.thoughtco.

Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

0 bölü 1 tanımsız mıdır?

Böyle bir sayı tanımlanmadığı için sayı bölü sıfır tanımsızdır. 0/0 ifadesi ise belirsizdir. Sonuç olarak sıfır bölü sıfır ifadesi belirsizdir. Ayrıca 0’ı sıfır hariç bir sayıya bölersek 0 olur.

0 0 Sonsuz mu?

Pozitif ,negatif sayıların arasında bir sınır ve aslında tek nötr sayıdır. 0/0 durumunda – sonsuz ile + sonsuz arasında her sayıyı ifade edebilir ve her durumda gerçek bir büyüklüğü ifade eder.

1 bölü sonsuz nedir?

Bir Bölü Sonsuz-Matematik Romanı Kitap Açıklaması Bir Bölü Sonsuz, matematikçi bir akademisyenin ve kendisine çömez olarak seçtiği öğrencisinin serüveni. Bir bölü sonsuzun sıfıra yakınsadığı gerçeği; insan ömrünün, sonsuzluğa oranla sıfır denecek kadar kısa oluşunu, insanın evrenle ilişkisinin boyutlarını gösteriyor.

0 ne yapar?

Bugünkü sayı sisteminde sıkça kullanılan sıfır, bir niteliğin yokluğunu temsil eder. Toplamada toplandığı sayıyı değiştirmeyen etkisiz, çarpmada sonucu sıfır yapan yutan, bölmede ise bir sayıya bölündüğünde 0 sonucu çıkar. Ancak bir sayıyı böldüğünde sonuç tanımsızdır. 0 sayısı pozitif ve negatif olmayan bir sayıdır.

1 bölü sıfır nedir?

1/0 tanımsız olduğu için bütün sonuçlar tanımsızdır. Yani bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

0 üssü 1 Nedir?

Sıfır dışında, herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti bire eşittir. Sıfırın herhangi bir pozitif kuvveti ise sıfıra.

0 0 neden belirsizdir?

Bölme işleminde sıfır ile bölüm tanımlı değildir. Ayrıca sonsuz da değildir. Bölümün sonucu pozitif sonsuz ya da negatif sonsuz olabilir. İki sonsuz da bir reel sayı belirtmez, dolayısıyla kesin olarak söyleyebiliriz ki, sayı bölü sıfır tanımsızdır.

0 ın bir sayıya bölümü nedir?

0/sayi net sifirdir. sayi/0 tam oyle olmasa da sonsuz “kabul edilir”. …

1 0 Neden sonsuz?

Bir sayıyı sıfıra yaklaşan negatif sayılara böldüğümüzde sonuç eksi sonsuza yaklaşır. Bu nedenle 1/0 sonucu sonsuz ise 1/-0 sonucu da eksi sonsuz olmalıdır. Sıfır nötr bir sayı olduğundan 1/0 için hem artı sonsuz hem de eksi sonsuz sonuçları ortaya çıkar.

1 üzeri sonsuz nedir?

biraz hatalı bir kullanımdır zira tam 1 üzeri sonsuz 1’e eşittir. bu belirsizlikte anlatılmak istenen 1’e sağdan ya da soldan yaklaşan sayı üzeri sonsuzun belirsizliğidir. …

0 üzeri 0 nedir?

0 üssü 1 kaç eder?

Çizim: Umut Aybek

Permütasyon, belirli sayıda birbirinden farklı nesnelerin kaç farklı şekilde sıralanacağıyla ilgilenir. Kombinasyon kavramı ise nesnelerin sıralamasıyla değil sadece seçimiyle ilgilenir.

Bu konuları öğrendiğimiz sırada ezberleyip sorularda kullandığımız bir eşitlik vardır: 0!=1. Fakat bu eşitlik hep kafamızı karıştırır. Gelin şimdi kafa karışıklığına yol açan bu durumun açıklamasını öğrenelim.

Öncelikle sıfır faktöriyelin tanım gereği bire eşit olduğunu söylemeliyiz. Yani aslında 0! =1 ifadesi ispatlanabilen bir eşitlik değildir. Bu ifade ispatlanamasa da neden doğru olarak kabul edildiği açıklanabilir. Bunun için faktöriyel kavramının tanımını hatırlayalım:

Tanım: 1’den büyük bir n doğal sayısı için, 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.

Örneğin 3! ifadesi 1^.2^.3 çarpımına, 4! ifadesi ise 1^.2^.3^.4 çarpımına eşittir. 

Kombinasyon hesabında kullandığımız formül ise   şeklindedir. Buradaki “n” kümenin toplam eleman sayısı, “r” ise seçilen elemanların sayısıdır. Seçilen elemanların hangi sırada seçildiği önemli değildir.

Örneğin bize “5 kişilik bir ekipten 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?” şeklinde bir soru sorulduğunda cevabın 5’in 3’lü kombinasyonuna eşit olduğunu biliriz: C(5,3). Yani 5 kişilik bir ekipten 3 kişi 10 farklı şekilde seçilebilir.

“5 kişilik bir ekipten 5 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?” sorusunun cevabı içinse elimizde tek bir seçenek mevcuttur. Çünkü ekipte zaten 5 kişi yer alıyor ve biz hepsini seçiyoruz. Kombinasyon hesabındaki formülü kullandığımızda ise 0! ifadesiyle karşılaşırız.

Bu durumda, 5’in 5’li kombinasyonunun 1’e eşit olması için 0! ifadesinin çarpma işlemine göre etkisiz eleman olması gerekir. Bu nedenle de 0! ifadesi 1’e eşittir. 

Peki 1,2 veya 1,5 gibi ondalık sayıların faktöriyeli hesaplanabilir mi?

Yukarıdaki faktöriyelin tanımı birden büyük tam sayılar için geçerli. Yani sadece bu tanımı göz önüne aldığımızda ondalık sayıların faktöriyelinin hesaplanması mümkün değil. Ancak 1729 yılında ünlü matematikçi Leonhard Euler tarafından keşfedilen ‘’gama fonksiyonu’’ ile ondalık sayıların da faktöriyelleri hesaplanabiliyor. Yani gama fonksiyonu, faktöriyel kavramını karmaşık sayılar ve ondalık sayılar için genelleyen bir fonksiyondur.

Siz de ondalık sayıların faktöriyellerini hesaplamak isterseniz gama fonksiyonunu kullanabilirsiniz. 

Kaynaklar: