Paralelkenarın Yüksekliği Ve Alanı
Paralelkenar
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir.
Paralelkenarlar aynı zamanda birer dörtgen oldukları için, dörtgen bölümünde bahsettiğimiz özellikler paralelkenarlar için de geçerlidir.
- Paralelkenarın hem iç açıları hem de dış açıları toplamı \( ° \)'dir.
- Paralelkenarın kenarlarının orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan şekil de bir paralelkenardır.
- Paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları ve birbiriyle yaptıkları açının sinüs değerinin çarpımının yarısı paralelkenarın alanını verir.
Bir dörtgenin paralelkenar olduğunu gösterebilmemiz için şeklin aşağıdaki 6 özellikten en az birine sahip olduğunu göstermemiz gerekir.
- Karşılıklı kenarlar paralel (paralelkenar tanımı)
- Karşılıklı kenarların uzunlukları eşit
- Karşılıklı açıların ölçüleri eşit
- Karşılıklı iki kenar paralel ve uzunlukları eşit
- Köşegenler birbirini ortalar
Paralelkenarın Kenar ve Köşegen Özellikleri
Paralelkenarda karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşittir ve bu kenarlar birbirine paraleldir.
\( \abs{AB} = \abs{DC}, \quad \abs{AD} = \abs{BC} \)
\( \abs{AB} \parallel \abs{DC}, \quad \abs{AD} \parallel \abs{BC} \)
Paralelkenarın köşegenleri birbirini iki eşit parçaya böler.
\( \abs{AK} = \abs{KC}, \quad \abs{DK} = \abs{KB} \)
Paralelkenarın köşegen uzunluklarının kareleri toplamı, kenar uzunluklarının kareleri toplamının iki katına eşittir.
\( p^2 + q^2 = 2(a^2 + b^2) \)
İSPATI GÖSTER
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayalım.
\( p^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\hat{B}} \)
Şimdi de \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgenine kosinüs teoremi uygulayalım.
\( q^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\hat{A}} \)
\( A \) ve \( B \) açıları bütünler açılar oldukları için, aralarında aşağıdaki ilişki vardır.
\( \cos{\hat{A}} = -\cos(° - \hat{A}) = -\cos{\hat{B}} \)
Bu dönüşümü kullanarak yukarıdaki ilk denklemi \( A \) açısı cinsinden yazalım.
\( p^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos{\hat{A}} \)
İki denklemi taraf tarafa toplarsak, yukarıda verilen özdeşliği elde ederiz.
\( p^2 + q^2 = 2(a^2 + b^2) \)
İspatta hata bildirin
Paralelkenarın bir köşesinden çizilen ve karşı iki kenarı ortalayan iki doğru parçası, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.
\( \abs{AK} = \abs{KL} = \abs{LC} \)
İSPATI GÖSTER
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru). \( [DN] \) \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin bir kenarortayıdır. Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, \( [AM] \) de \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin bir kenarortayıdır. Buna göre, iki kenarortayın kesişim noktası olan \( K \) noktası \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezidir ve \( [AM] \) doğru parçasını oranında böler.
Aynı yöntemi \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgenine uygularsak, \( L \) noktasının \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olduğunu buluruz. Dolayısıyla, \( [AC] \) köşegeninin oranında, yani eşit üç parçaya bölündüğünü buluruz.
İspatta hata bildirin
Yukarıdaki eşitliğin bir diğer uygulamasında, paralelkenarın karşı iki köşesinden çizilen ve karşı iki kenarı ortalayan iki doğru parçası, paralelkenarın köşegenini üç eşit parçaya böler.
\( \abs{AK} = \abs{KL} = \abs{LC} \)
İSPATI GÖSTER
Bu durumun yukarıdakinden farkı, \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninde \( [DP] \) kenarortayı yerine \( [BT] \) kenarortayının çizilmiş olmasıdır. \( L \) noktasının \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi (kenarortayların kesişim noktası) olduğunu bildiğimiz için, \( L \) noktasının konumu, dolayısıyla \( [AC] \) köşegeninin bölünme oranı değişmeyecektir.
İspatta hata bildirin
Paralelkenarın Açı Özellikleri
Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, paralelkenarın iç açıları toplamı da, dış açıları toplamı da \( ° \)'dir.
Paralelkenarda aynı kenar üzerindeki iki açı karşı durumlu açılar oldukları için toplamları \( ° \)'dir.
Paralelkenarda karşılıklı köşelerin açıları iç ters açılar oldukları için birbirine eşittir.
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{C}) = x \)
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{D}) = y \)
Aynı kenar üzerindeki iki açının açıortayları birbirini dik keser.
\( x + y = ° \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 90° \)
Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğu için, iç ya da dış bölgesine çizilen doğrularla farklı benzer üçgenler oluşabilmektedir, bu durumlarda da üçgenler konusunda gördüğümüz kelebek kuralı ve Thales kuralına sıklıkla ihtiyaç duyabilmekteyiz.
Aşağıdaki şekilde kelebek kuralını uygulayabileceğimiz şekilde \( \overset{\triangle}{DMK} \) ve \( \overset{\triangle}{NAK} \) üçgenleri arasında benzerlik oluşmaktadır.
\( \overset{\triangle}{DMK} \sim \overset{\triangle}{NAK} \)
\( \dfrac{\abs{DM}}{\abs{NA}} = \dfrac{\abs{DK}}{\abs{NK}} = \dfrac{\abs{MK}}{\abs{AK}} \)
Aşağıdaki şekilde Thales kuralını uygulayabileceğimiz şekilde \( \overset{\triangle}{NMC} \) ve \( \overset{\triangle}{NAB} \) üçgenleri arasında benzerlik oluşmaktadır.
\( \overset{\triangle}{NMC} \sim \overset{\triangle}{NAB} \)
\( \dfrac{\abs{NM}}{\abs{NA}} = \dfrac{\abs{NC}}{\abs{NB}} = \dfrac{\abs{MC}}{\abs{AB}} \)
Paralelkenarın Çevresi ve Alanı
Paralelkenarın çevresi, paralel kenarların uzunlukları toplamının iki katına eşittir.
Paralelkenarın alanı, her bir paralel kenarın uzunluğu ve o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
\( A(ABCD) = a \cdot h_a = b \cdot h_b \)
İSPATI GÖSTER
\( D \) ve \( B \) köşelerini birleştiren bir köşegen çizelim.
Oluşan \( \overset{\triangle}{ABD} \) ve \( \overset{\triangle}{CBD} \) üçgenlerinin alan formüllerini yazalım.
\( A(\overset{\triangle}{ABD}) = \dfrac{a \cdot h_a}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{CBD}) = \dfrac{b \cdot h_b}{2} \)
Bu iki üçgenin tüm kenar uzunlukları ve karşı durumlu \( \hat{A} \) ve \( \hat{C} \) açıları eşit olduğu için eş üçgenlerdir ve alanları eşittir.
\( A(\overset{\triangle}{ABD}) = A(\overset{\triangle}{CBD}) \)
Paralelkenarın alanı bu iki üçgenin alanları toplamına ve aynı zamanda her birinin alanının iki katına eşittir.
\( A(ABCD) = a \cdot h_a = b \cdot h_b \)
İspatta hata bildirin
Paralelkenarın alanı, köşegenlerinin uzunlukları ve birbiriyle yaptıkları açının sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir. Birbirini \( ° \)'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri aynı olduğu için köşegenlerin arasında oluşan açıların ikisi de aynı sonucu verecektir.
\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)
İSPATI GÖSTER
Köşegenlerin ayırdığı dört üçgenin alanlarını sinüs alan formülünü kullanarak hesaplayalım.
\( A(\overset{\triangle}{KAB}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{p}{2} \cdot \dfrac{q}{2} \cdot \sin(° - x) \)
\( A(\overset{\triangle}{KBC}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{p}{2} \cdot \dfrac{q}{2} \cdot \sin{x} \)
\( A(\overset{\triangle}{KCD}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{p}{2} \cdot \dfrac{q}{2} \cdot \sin(° - x) \)
\( A(\overset{\triangle}{KDA}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{p}{2} \cdot \dfrac{q}{2} \cdot \sin{x} \)
Bütünler açıların sinüs değerleri eşittir.
\( \sin{\alpha} = \sin(° - x) \)
Dört üçgenin alanlarını toplayarak dörtgenin alanını bulalım.
\( A(ABCD) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4pq}{4} \cdot \sin{x} \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot q \cdot \sin{x} \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \abs{AC} \cdot \abs{BD} \cdot \sin{x} \)
İspatta hata bildirin
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, aynı zamanda paralelkenarın alanını dört eşit parçaya bölerler.
\( \abs{AK} = \abs{KC}, \quad \abs{DK} = \abs{KB} \)
\( A(\overset{\triangle}{ABK}) = A(\overset{\triangle}{BCK}) = A(\overset{\triangle}{CDK}) \) \( = A(\overset{\triangle}{ADK}) \)
İSPATI GÖSTER
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeni paralelkenarla aynı tabana ve yüksekliğe sahip olduğu için, alanı paralelkenarın alanının yarısıdır.
\( \overset{\triangle}{ABK} \) ve \( \overset{\triangle}{BCK} \) üçgenlerinin \( [AC] \) köşegeni üzerindeki tabanları ve yükseklikleri eşit olduğu için, alanları da eşittir.
İspatta hata bildirin
Paralelkenarın köşegenlerinin oluşturduğu aşağıdaki üçgenler, tüm kenar uzunlukları ve açıları eşit olduğu için eş üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{ABK} \cong \overset{\triangle}{CDK} \), \( \quad \overset{\triangle}{BCK} \cong \overset{\triangle}{DAK} \)
\( \overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{ACD} \), \( \quad \overset{\triangle}{ABD} \cong \overset{\triangle}{BCD} \)
Paralelkenarın içindeki herhangi bir noktadan köşelere çizilen doğru parçalarının ayırdığı dört bölgeden karşılıklı bölgelerin alanları toplamı birbirine eşittir.
\( A_1 + A_3 = A_2 + A_4 \)
İSPATI GÖSTER
\( K \) noktasından kenarlara paralel doğrular çizelim.
Oluşan şekilde büyük paralelkenar dört küçük paralelkenara bölünmüş olur ve \( K \) noktasından köşelere çizilen doğru parçaları küçük paralelkenarların köşegeni olur ve her paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{APK}) = A(\overset{\triangle}{ATK}) = A \)
\( A(\overset{\triangle}{BPK}) = A(\overset{\triangle}{BRK}) = B \)
\( A(\overset{\triangle}{CRK}) = A(\overset{\triangle}{CSK}) = C \)
\( A(\overset{\triangle}{DSK}) = A(\overset{\triangle}{DTK}) = D \)
\( A_1 \), \( A_2 \), \( A_3 \) ve \( A_4 \) bölgelerinin alanlarını yukarıdaki alanlar cinsiden yazarsak karşılıklı bölgelerin alanları toplamının eşit olduğunu görebiliriz.
\( A_1 = A + B \)
\( A_2 = B + C \)
\( A_3 = C + D \)
\( A_4 = D + A \)
\( A_1 + A_3 = A + B + C + D \)
\( A_2 + A_4 = A + B + C + D \)
\( A_1 + A_3 = A_2 + A_4 \)
İspatta hata bildirin
Paralelkenarın bir kenarı üzerindeki iki köşeden karşı paralel kenar üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşittir.
\( A(\overset{\triangle}{ABN}) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)
İSPATI GÖSTER
Doğru parçalarının karşı kenarda kestiği nokta olan \( N \)'den yan kenarlara paralel bir doğru çizersek (kesikli gri doğru), oluşan dört üçgenin alanları arasında aşağıdaki gibi eşitlik olduğunu görürüz.
\( A(\overset{\triangle}{AKN}) = A(\overset{\triangle}{ADN}) = A_1 \)
\( A(\overset{\triangle}{BKN}) = A(\overset{\triangle}{BCN}) = A_2 \)
İspatta hata bildirin
Yukarıda \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böldüğünü gösterdiğimiz \( [DN] \) ve \( [DP] \) doğru parçalarının paralelkenarın alanını böldüğü parçaların oranları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru).
\( A(\overset{\triangle}{AKN}) = A \) diyelim.
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADN} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [DN] \) doğru parçasını oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADK}) = 2A \)
\( K \) ve \( L \) noktaları \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böler, dolayısıyla tabanları ve yükseklikleri eşit üç üçgen oluşur.
\( A(\overset{\triangle}{DKL}) = 2A \)
\( A(\overset{\triangle}{CDL}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası \( [DP] \) doğru parçasını oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{CLP}) = A \)
\( [AC] \) köşegeni paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böldüğü için, beşgen şekil için kalan alan 4A'dır.
\( A(KLPBN) = 6A - A - A = 4A \)
İspatta hata bildirin
Yukarıda \( [AC] \) köşegenini üç eşit parçaya böldüğünü gösterdiğimiz \( [DN] \) ve \( [BP] \) doğru parçalarının paralelkenarın alanını böldüğü parçaların oranları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Paralelkenarın diğer köşegenini de çizelim (kesikli gri doğru).
\( A(\overset{\triangle}{AKN}) = A \) diyelim.
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADN} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [DN] \) doğru parçasını oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADK}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( K \) noktası, \( \overset{\triangle}{ADM} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [AM] \) doğru parçasını oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{DKM}) = A \)
\( \overset{\triangle}{AKN} \) ve \( \overset{\triangle}{CLT} \) üçgenleri eş üçgenlerdir (iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı eşit).
\( A(\overset{\triangle}{CLT}) = A \)
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için, \( \overset{\triangle}{ADM} \) ve \( \overset{\triangle}{CDM} \) üçgenlerinin alanları eşittir.
\( A(DMLT) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası, \( \overset{\triangle}{BCT} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [BT] \) doğru parçasını oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{BCL}) = 2A \)
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( L \) noktası, \( \overset{\triangle}{BCM} \) üçgeninin bir tabanı olan \( [CM] \) doğru parçasını oranında böler.
\( A(\overset{\triangle}{BLM}) = A \)
\( [AC] \) köşegeni paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böldüğü için, dörtgen şekil için kalan alan 4A'dır.
\( A(BNKM) = 6A - 2A - A - A = 2A \)
İspatta hata bildirin
Bir paralelkenarın köşe ve kenarları arasında çizilen aşağıdaki doğru parçaları, paralelkenarın alanını belirtilen oranlarda böler.
\( N \) ve \( T \) noktalarını bir doğru parçası ile birleştirelim.
\( ANTD \) ve \( NBCT \) tabanları ve yükseklikleri eşit iki eş paralelkenar olur.
\( A(ANTD) = A(NBCT) \)
\( [AT] \) ve \( [NC] \) doğru parçaları bu iki paralelkenarın köşegenleri olduğu için ilgili paralelkenarların alanlarını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADT}) = A(\overset{\triangle}{ANT}) = A \)
\( A(\overset{\triangle}{NBC}) = A(\overset{\triangle}{NTC}) = A \)
Buna göre \( ANCT \) paralelkenarının alanı \( 2A \) olur.
\( A(ANCT) = A + A = 2A \)
İspatta hata bildirin
Bir paralelkenarın köşe ve kenarları arasında çizilen aşağıdaki doğru parçaları, paralelkenarın alanını belirtilen oranlarda böler.
Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birer doğru parçası ile birleştirelim.
\( A(\overset{\triangle}{TCP}) = A \) diyelim.
\( [TP] \) doğru parçası \( TCPM \) paralelkenarının köşegeni olduğu için paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{TCP}) = A(\overset{\triangle}{TMP}) = A \)
\( A(TCPM) = 2A \)
\( MPBN \), \( RMNA \) ve \( DTMR \) paralelkenarlarının taban uzunlukları, yükseklikleri ve alanları \( TCPM \) paralelkenarları ile aynıdır.
\( A(MPBN) = A(RMNA) = A(DTMR) = 2A \)
Buna göre \( ABCD \) paralelkenarlarının alanı \( 8A \) olur.
\( [AT] \) doğru parçası \( ADTN \) paralelkenarlarının köşegeni olduğu için alan \( 4A \) olan paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{ADT}) = 2A \)
\( [AP] \) doğru parçası \( ARPB \) paralelkenarlarının köşegeni olduğu için alan \( 4A \) olan paralelkenarın alanını iki eşit parçaya böler.
\( A(\overset{\triangle}{APB}) = 2A \)
Ortadaki \( \overset{\triangle}{ATP} \) üçgeninin alanını bulmak için \( ABCD \)paralelkenarlarının alanından üç üçgenin alanını çıkaralım.
\( A(ABCD) = 8A - A(\overset{\triangle}{ADT}) - A(\overset{\triangle}{APB}) - A(\overset{\triangle}{TCP}) \)
\( = 8A - 2A - 2A - A = 3A \)
İspatta hata bildirin
çamaşır makinesi ses çıkarması topuz modelleri kapalı huawei hoparlör cızırtı hususi otomobil fiat doblo kurbağalıdere parkı ecele sitem melih gokcek jelibon 9 sınıf 2 dönem 2 yazılı almanca 150 rakı fiyatı 2020 parkour 2d en iyi uçlu kalem markası hangisi doğduğun gün ayın görüntüsü hey ram vasundhara das istanbul anadolu 20 icra dairesi iletişim silifke anamur otobüs grinin 50 tonu türkçe altyazılı bir peri masalı 6. bölüm izle sarayönü imsakiye hamile birinin ruyada bebek emzirdigini gormek eşkiya dünyaya hükümdar olmaz 29 bölüm atv emirgan sahili bordo bereli vs sat akbulut inşaat pendik satılık daire atlas park avm mağazalar bursa erenler hava durumu galleria avm kuaför bandırma edirne arası kaç km prof dr ali akyüz kimdir venom zehirli öfke türkçe dublaj izle 2018 indir a101 cafex kahve beyazlatıcı rize 3 asliye hukuk mahkemesi münazara hakkında bilgi 120 milyon doz diyanet mahrem açıklaması honda cr v modifiye aksesuarları ören örtur evleri iyi akşamlar elle abiye ayakkabı ekmek paparası nasıl yapılır tekirdağ çerkezköy 3 zırhlı tugay dört elle sarılmak anlamı sarayhan çiftehan otel bolu ocakbaşı iletişim kumaş ne ile yapışır başak kar maydonoz destesiyem mp3 indir eklips 3 in 1 fırça seti prof cüneyt özek istanbul kütahya yol güzergahı aski memnu soundtrack selçuk psikoloji taban puanları senfonilerle ilahiler adana mut otobüs gülben ergen hürrem rüyada sakız görmek diyanet pupui petek dinçöz mat ruj tenvin harfleri istanbul kocaeli haritası kolay starbucks kurabiyesi 10 sınıf polinom test pdf arçelik tezgah üstü su arıtma cihazı fiyatları şafi mezhebi cuma namazı nasıl kılınır ruhsal bozukluk için dua pvc iç kapı fiyatları işcep kartsız para çekme vga scart çevirici duyarsızlık sözleri samsung whatsapp konuşarak yazma palio şanzıman arızası