Tek Sayıları Toplama Formülü

I. madde: \( -2a \) sayısı 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir.

II. madde: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( 3a \) sayısı \( a \) tek ise tek, çift ise çifttir. Buna göre ifadenin teklik/çiftlik durumu \( a \) sayısı ile aynıdır.

III. madde: \( 2a \) sayısı 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir. \( 1 - 2a \) ifadesinde olduğu gibi bir tek sayıdan çift sayı çıkarırsak sonuç tek sayı olur.

IV. madde: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( 4a \) ifadesi 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir. \( 4a^2 - 5 \) ifadesinde olduğu gibi bir çift sayıdan tek sayı çıkarırsak sonuç tek sayı olur.

V. madde: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( a^2 + a \) ifadesi \( a \) tek ise iki tek sayının toplamı, çift ise iki çift sayının toplamı olur. Her iki durumda da sonuç çift sayı olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen iki ifadeden aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.

\( (a + b)^c = 2m + 3 \)

Üssün pozitif tam sayı olduğu durumda bir ifadenin sonucunun tek/çift olma durumu ifadenin tabanı ile aynıdır. Bu durumda \( 2m \) çift ve \( 2m + 3 \) tek sayı olduğu için \( a + b \) de tek sayı olur. Buna göre, \( a \) ve \( b \) sayılarından biri tek ise diğer çift olmalıdır.

\( (b \cdot c)^a = 2n \)

\( 2n \) çift sayı olduğu için, \( b \cdot c \) de çift sayıdır. Bir çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması gerektiği için \( b \) ve \( c \) ikisi birlikte tek olamaz.

Buna göre \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının tek/çift olma durumları aşağıdaki 3 durumdan biri gibi olur.

Bu 3 durum doğrultusunda verilen seçenekleri değerlendirelim.

(a) \( b \) çift sayı ise \( c \) tek sayıdır: Tabloya göre \( b \) çift ise \( c \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.

(b) \( b \) çift sayıdır: Tabloya göre \( b \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.

(c) \( a \) tek sayıdır: Tabloya göre \( a \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.

(d) \( a \) tek sayı ise \( c \) tek sayıdır: Tabloya göre \( a \) tek ise \( c \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.

(e) \( a \) çift sayı ise \( c \) çift sayıdır: Tabloya göre \( a \) çift ise \( c \) de çifttir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğrudur.

Buna göre (e) seçeneği her zaman doğrudur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Herhangi bir sayıda çift sayının toplamı sayıları 2 ortak parantezine alabileceğimiz için çift olur. Tek sayılarda ise tek sayıların adedi tekse sonuç tek, çift ise sonuç çift olur.

Buna göre 15 sayıdan 15'ini de tek alırsak sonuç tek olur.

Sayılardan 14'ünü tek alırsak toplamları çift olur. çift sayıyı bu toplama eklediğimizde sonuç yine çift olacaktır.

Buna göre 15 sayıdan en çok 14'ünü tek alırsak toplamları çift olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( a^2 + 3a = a(a + 3) = b \)

\( a \) ve \( a + 3 \) sayılarından biri tek ise diğeri çifttir. En az biri çift olan sayıların çarpımı çift olduğu için \( a(a + 3) \) çarpımının sonucu çift sayı olur.

Buna göre \( b \) sayısı kesinlikle çifttir. Doğru cevap (b) seçeneğidir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

2 çarpanı içerdiği için \( m \) tek de çift de olsa \( 2m \) sayısı çift olur ve \( m \)'in tek/çift olma durumu hakkında kesin birşey söyleyemeyiz.

\( 5p + \underbrace{2m}_\text{Çift} + n = \text{Çift} \) olduğu için \( 5p + n \) toplamı da çift sayı olur.

Buna göre \( p \) çift ise \( n \) de çift olur, \( p \) tek ise \( n \) de tek olur. Yani \( p \) ve \( n \) sayılarının ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.

Şimdi bu bilgilerle öncüllere bakalım.

I. \( m \), \( p \) ve \( n \) sayılarının üçü de tek olabileceği için \( m \cdot n \cdot p \) çarpımı tek olabilir. İçlerinden biri çift olabileceği için çarpımları çift de olabilir. Buna göre bu ifadenin tek/çift olma durumu hakkında kesin birşey söyleyemeyiz.

II. \( p \) ve \( n \) sayılarının ikisinin de çift ve ikisinin de tek olduğu iki durumda \( p - n \) ifadesi çift olur. Bu öncül için kesinlikle çifttir diyebiliriz.

III. \( m \) sayısının tek/çift olma durumunu kesin bilemediğimiz için \( m + p \) toplamı tek ya da çift olabilir.

Buna göre yalnız II. öncül her zaman çifttir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İki ardışık sayıdan (, vb.) biri tek diğeri çift olur.

I. \( 3m + 7n \) ifadesindeki kat sayılar tek sayı oldukları için terimlerin tek/çift olma durumlarını değiştirmezler, dolayısıyla bu katsayıları görmezden gelebiliriz (\( 3m \) sayısı \( m \) çift ise çift, tek ise tek olur). Buna göre \( m + n \) toplamı her zaman tek olduğu için \( 3m + 7n \) de her zaman tek olur.

II. En az biri çift olan sayıların çarpımı çift olduğu ve \( m \) ve \( n \) sayılarından biri çift olduğu için \( 23mn \) kesinlikle çift olur.

III. Sayıların biri tek diğeri çift olduğu için \( m – n \) farkı tek sayı olur. Bu farka tek sayı olan 37 eklediğimizde \( m – n + 37 \) ifadesinin sonucu kesinlikle çift olur.

IV. Sayılardan biri çift olduğu için \( mn \) çarpımı çift olur, dolayısıyla \( mn - 4 \) ifadesi de çift olur.

Buna göre yalnız I. öncül her zaman tektir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sayıların EKOK'u çift olduğuna göre bu sayılarından en az biri 2 çarpanını içerir, dolayısıyla çifttir.

Sayılar aralarında asal olduğuna göre diğer sayı çift olamaz, aksi takdirde iki sayı da 2 çarpanını içerir ve aralarında asal olmazlardı.

Buna göre iki sayıdan biri tek diğeri çifttir.

I. Sayılardan biri tek diğeri çift olduğu için \( x - y \) ifadesi her zaman tek olur.

II. Tek bir sayının karesi tek, çift bir sayının karesi çifttir. Dolayısıyla \( x^2 + y^2 \) ifadesi bir tek ve bir çift sayının toplamı olur. Bu ifade de her zaman tek olur.

III. Çift sayının pozitif tek sayı üssü çift, tek sayının pozitif çift sayı üssü tektir. Sayılardan hangisinin tek hangisinin çift olduğunu bilmediğimiz için bu öncül için kesin bir şey söyleyemeyiz.

Buna göre I. ve II. öncüldeki ifadeler her zaman tektir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 2a \) ve \( 6c^3 \) sayılarının katsayıları 2 çarpanı içerdikleri için bu ifadeler her zaman çift olur, dolayısıyla \( a \) ve \( c \)'nin tek/çift olma durumları hakkında birşey söyleyemeyiz. \( b - 2 \) çift ise \( b \) de çifttir.

\( b \) çift olduğuna göre, \(b + c \) ifadesinin tek olması için \( c \) tek olmalıdır.

\( b \) çift ise \( 5b \) de çifttir. \( c \) tek ise \( 3c \) de tektir. Buna göre verilen 3 sayıdan sadece biri tek ise \( 9a \) çift olmalıdır, dolayısıyla \( a \) çift olur.

Buna göre \( a \) ve \( b \) çift, \( c \) tektir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 2n \) sayısı 2 çarpanını içerdiği için çifttir, dolayısıyla \( 2n + 7 \) ifadesi tek olur. Bu durumda \( k \cdot m \) çarpımı da tek olmalıdır.

İki sayının çarpımı tek ise bu sayıların ikisi de tektir. İki tek sayının toplamı çift olduğu için \( k + m \) toplamı çift olur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Sayıların üçü de birer tam sayıdır. Verilen eşitliğin solundaki \( a - b \) ifadesi de tam sayı olacağı için sağındaki \( \frac{33}{c} \) ifadesi de tam sayı olmalıdır.

\( c \) sayısının 33'ü tam bölmesi için 33'ün çarpanlarından biri olması gerekir. 33'ün çarpanları 1, 3, 11 ve 33 olduğu için \( c \) mutlaka bir tek sayıdır. Ayrıca 33'ü bu çarpanlardan herhangi birine böldüğümüzde sonuç tek sayı olur.

Bu durumda \( a - b \) sonucu da tek olur. Buna göre \( a \) ve \( b \) sayılarından biri tek diğeri çifttir. Bu bilgilere göre öncülleri inceleyelim.

I. öncül: \( a \) ve \( b \)'nin biri tek diğeri çift olduğu için toplamları tek olur. \( c \) de tek olduğu için \( c(b + a) \) çarpımı da tektir. Bu öncül her zaman tektir.

II. öncül: \( a \) ve \( b \) sayılarından biri çift olduğu için \( a \cdot b \cdot c \) çarpımı her zaman çift olur.

III. öncül: \( a \) ve \( b \)'nin biri tek diğeri çift olduğu için toplamları tek olur. \( c \) de tek olduğu için \( a + b + c \) toplamı çift olur. Bu öncül her zaman çifttir.

IV. öncül: Üslü ifadelerin sonucunun tek mi çift mi olduğunu bulmak için tabana bakmamız yeterlidir, dolayısıyla \( c \) tek olduğu için \( c^a \) da tek olur. Tek bir sayıyı 9 ile toplarsak sonuç çift olur. Bu öncül her zaman çifttir.

Buna göre sadece I. öncüldeki ifade kesinlikle tektir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen denklemi tam sayı ve kesirli iki kısma ayıralım.

\( \dfrac{3a}{a} + \dfrac{16}{a} = 3 + \dfrac{16}{a} \)

3 ile toplanan bu ifadenin tek sayı olabilmesi için \( \frac{16}{a} \) kısmı çift sayı olmalıdır.

\( \frac{16}{a} \) ifadesinin sonucunu çift sayı yapan \( a \) değerleri \( \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \} \) olur.

Buna göre verilen ifadeyi çift sayı yapan 8 farklı \( a \) değeri vardır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Soruda verilen bilgileri yorumlayalım.

\( e + s \) çift sayı olduğuna göre, \( e \) ve \( s \) ikisi de çift ya da ikisi de tektir.

\( \abs{e - k} \) tek sayı olduğuna göre, \( e \) ve \( k \)'dan biri tek diğeri çifttir.

Buna göre Eda'nın aldığı bilye sayısının tek ya da çift sayı olma durumuna göre Sibel ve Kerim'in bilye sayılarının tek ya da çift olma durumları aşağıdaki tablodaki gibi olur.

I. öncül: İki durumda da doğrudur.

II. öncül: İki durumda da doğrudur.

III. öncül: Sayılardan biri tek diğeri çift olduğu için eşit olamazlar. Bu öncül yanlıştır.

IV. öncül: Sayıların toplamı birinci durumda tek, ikinci durumda çifttir. Bu öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( x + y \) toplamı çift ise sayıların ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.

\( y + z \) toplamı çift ise sayıların ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.

İlk iki ifadeye göre sayıların ya üçü de çifttir ya da üçü de tektir.

\( x \cdot z \) çarpımı çift ise sayılardan en az biri çift olmalıdır, dolayısıyla yukarıdaki üç sayının da tek sayı olma durumu doğru olamaz.

Buna göre sayıların üçü de çifttir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( \dfrac{x \cdot (y + z)}{z \cdot (x + y)} = a \) diyelim.

\( x \cdot (y + z) = a \cdot z \cdot (x + y) \)

\( a \) çift olduğuna göre, \( x \cdot (y + z) \) ifadesi de mutlaka çift olur.

Buna göre \( x \) ve \( y + z \) ifadelerinden en azından biri çifttir, bir diğer ifadeyle ikisi de tek olamaz.

I. ifade: \( x \) çift sayı ise \( y + z \) toplamı tek ya da çift olabilir. Dolayısıyla bu ifade her zaman doğru değildir.

II. ifade: \( x \) tek sayı ise \( y + z \) toplamı çift olmak zorundadır. Bu ifade her zaman doğrudur.

III. ifade: Soruda verilen bilgiler paydanın tek ve çift olma durumu hakkında yeterli bilgi vermemektedir. Payda tek ya da çift olabileceği için \( z \)'nin çift sayı olması \( x + y \) hakkında bize bilgi vermez. Bu ifade her zaman doğru değildir.

Buna göre yalnız II. ifade her zaman doğrudur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( 4^{\frac{a - 2}{2}} + 5 \) çift sayı ise \( 4^{\frac{a - 2}{2}} \) tek sayıdır.

4'ün sadece 0. kuvveti tek sayıdır.

\( \frac{a - 2}{2} = 0 \Longrightarrow a = 2 \)

\( b^b + 8 \) çift ise \( b^b \) çift sayıdır, dolayısıyla \( b \) çift sayıdır.

İfadeleri sırayla inceleyelim.

I. ifade: \( 2 \cdot b \) çarpımı \( b = 0 \) için 0'dır. Bu ifade her zaman doğru değildir.

II. ifade: \( 2^b + b^2 \) toplamı \( b = 0 \) için 1'dir. Bu ifade her zaman doğru değildir.

III. ifade: \( 19^2 + 3b \) toplamı tek ve çift iki sayının toplamı olduğu için her zaman tek sayıdır. Bu ifade her zaman doğrudur.

Buna göre yalnız III. ifade her zaman doğrudur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( 2y \cdot (y + 3) + x \cdot (y + 3) \)

\( = (y + 3) \cdot (2y + x) \)

Bu çarpımın sonucu tek sayı olduğuna göre, her iki çarpan da tek sayı olmalıdır.

\( y + 3 \) toplamında, 3 tek sayı olduğu için \( y \) çift sayı olmalıdır.

\( 2y + x \) toplamında, \( 2y \) çift sayı olduğu için \( x \) tek sayı olmalıdır.

Verilen ifadeleri sırayla inceleyelim.

I. ifade: \( x \cdot y \) çarpımı \( y \) çift sayı olduğu için çifttir.

II. ifade: \( x^x \) ifadesi \( x \) tek sayı olduğu için tektir.

III. ifade: \( y + 10^x \) toplamı her iki terim de çift olduğu için çifttir.

Buna göre yalnız II. ifade tek sayıdır.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

Soruyu \( n \) tek sayı olmak üzere, toplamları çift sayı olan \( n \) sayı şeklinde düşünebiliriz.

\( a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \) çift sayı

Bu toplamda her terim bir öğrencinin notu olmaktadır.

İfadeleri sırayla inceleyelim.

I. ifade: Tüm sayılar çift olabileceği için notu çift sayı olan öğrenci sayısı tek ya da çift olabilir. Bu ifade kesinlikle doğru değildir.

II. ifade: Notların toplamı çift sayı olduğu için, notu tek sayı olan öğrenci sayısı ya sıfırdır ya da ikinin katıdır. Bu ifade kesinlikle doğrudur.

III. ifade: Tüm öğrencilerin notu çift sayı olabilir. Bu ifade kesinlikle doğru değildir.

Buna göre yalnız II. ifade her zaman doğrudur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

\( x \) ve \( y \) sayılarının tek ve çift olma durumlarında bu üç ifadenin teklik/çiftlik durumlarını kontrol edelim.

Durum 1: \( x \) ve \( y \) çift sayı:

1. ve 3. ifadeler çift sayı, 2. ifade tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanır.

Durum 2: \( x \) çift sayı, \( y \) tek sayı:

2. ve 3. ifadeler çift sayı, 1. ifade tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanır.

Durum 3: \( x \) tek sayı, \( y \) çift sayı:

Tüm ifadeler çift sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanmaz.

Durum 4: \( x \) ve \( y \) tek sayı:

Tüm ifadeler tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanmaz.

Sadece 1. ve 2. durumlar geçerli çözüm olduğu için \( x \)'in çift sayı olduğu sonucuna varabiliriz, \( y \)'nin teklik/çiftlik durumu hakkında ise kesin birşey söyleyemeyiz.

İfadeleri sırayla inceleyelim.

I. ifade: \( x + 3 \) toplamı her zaman tek sayıdır, çift sayı olamaz.

II. ifade: \( x \cdot y + 2 \) toplamı her zaman çift sayıdır.

III. ifade: \( y \) çift sayı olabilir.

Buna göre II. ve III. ifadeler çift sayı olabilir.

Soru sorun   Soruda hata bildirin