Çarpımı Ne Olur

Kartezyen çarpımı, A ve B kümeleri verildiğinde, birinci bileşeni A kümesinden ve ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulmuş tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye A kartezyen B kümesi denir, yapılan bu işleme de A ile B’nin kartezyen çarpımı denir ve AxB ile gösterilir.

1. bileşen A kümesinden, 2. bileşen B kümesinden olunmasına dikkat edilmelidir. 1. bileşen B kümesinden ve 2. bileşen A kümesinden alınsaydı bu işlem BxA olarak gösterilirdi.

Örnek

A = {1, 2} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A×B ve B×A kümeleri: A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} B×A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Özellikleri[değiştir

Pozitif ve Negatif Sayılarda Çarpma

If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *funduszeue.info ve *funduszeue.info adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Pozitif ve negatif sayılarla çarpmanın pratik kurallarını öğfunduszeue.infoal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

2 ile 3'ü çarptığımızda artı 6 bulacağımızı biliyoruz ve bu videoda eksi sayılara bakacağız. Şöyle düşünebiliriz, iki pozitif sayıyı çarptığımızda, pozitif bir sayı çıkar. Pozitif çarpı pozitif, pozitif bir sayı verecek. Şimdi işe negatif sayıları katalım. Eksi 2 çarpı 3 ne olur? Eksi 2 çarpı 3. Bu videoda ve ilerideki videolarda bu işlemin anlamı hakkında konuşacağız. Bunu eksi 2'nin kendisiyle 3 kere toplanması olarak düşünebiliriz. Eksi 2 artı eksi 2 artı eksi 2 Bu da eşittir eksi 2 artı eksi 2 eşittir eksi 4 artı eksi 2 daha eşittir eksi 6. Bu eksi 6'ya eşit olur veya şöyle de düşünebiliriz 2 çarpı 3, 6 olur. Bu sayıların biri negatif olduğu için çarpım da negatif olacak. Yani eksi çarpı artı eksidir. Peki, çarptığım terimlerin sırasını değiştirirsem ne olur? 3 çarpı eksi 2 dersem ne olacak? Sonuç şu fark etmez. Çarptığımız şeylerin çarptığımız rakamların sayıların sırası çarpımı değiştirmeyecek. 2 ile 3'ü çarpınca 6 çıkar. 3 ile 2'yi çarpınca da 6 çıkar. O zaman burada da aynı özellik olmalı. 3 çarpı eksi 2 de o zaman aynı sonucu vermeli. Yani eksi 6'ya eşit olacak. Tekrar söylüyorum 3 çarpı 2 eşittir 6 ve bu sayılardan biri negatif olduğu için çarpım da negatif olacak. Artı çarpı eksi de eksi olacak. Bu ikisi, çarpım sırasının değişmesine rağmen aynı şey olacak. Bu durum sayılardan birinin negatif olma durumu. Sadece biri negatif. Bir negatif bir pozitif sayı çarpılıyor ve sonuç negatif olacak. Şimdi üçüncü duruma bakıyoruz. İki sayının da negatif olma durumu. Eksi 2 çarpı eksi 3'ü alırsak, şimdi en az mantıklı gelen durum bu. Size bir kural vereceğim, gelecekte bunun nedenini ve matematiksel kavramları nasıl birleştirdiğini birlikte araştıracağız. Burada 2 çarpı 3 eşittir 6 dedik ve eksi çarpı eksi var. Eksilerin birbirini götürdüğünü düşünebiliriz. Böylece artı 6 elde edeceğiz pozitif olacak sonuç yani. Aslında buraya tabi artı yazmaya gerek yok ama vurgulamak için yazıyorum. Yani bu, pozitif 6, artı 6. Burada önemli bir kural var. Eksi çarpı eksi olduğunda eksiler birbirini götürür. Ve sonuç pozitif bir sayı olacak. Bu kuralları güzel bir şekilde hatırladıktan öğrendikten sonra şimdi örnekler çözelim. Ben çözmeden önce sizin denemenizi istiyorum. Videoyu durdurun, deneyin ve aynı cevabı bulup bulmadığınıza bir bakın. Şimdi basit bir örnekle başlayalım ve eksi 1 çarpı eksi 1'i deneyelim. 1 çarpı 1 eşittir 1. Burada eksi çarpı eksi var. Ne olacak sadeleşecekler. Eksi çarpı eksi artı olur. O zaman sonuçta artı 1 olacak. Sadece 1 yazabiliriz tabi veya vurgulamak için buraya yine artı işaretini koyalım. Bu, artı 1. Peki eksi 1 çarpı 0 dersem ne olur? Bu işlem, benim belirttiğim durumlara uymuyor. 0 ne negatif, ne de pozitif. Burada hatırlamanız gereken şey 0 ile herhangi bir sayının çarpımının 0 olduğu. Yani eksi 1 çarpı 0 eşittir 0. 0 çarpı eksi de diyebilirdim ve bu da 0 olurdu. Şimdi de 12 çarpı eksi 4 yapalım. 12 çarpı artı 4 olsaydı ne olurdu 48 olurdu ama burada ki sayılardan biri negatif. Sayılardan sadece bir tanesi negatifse o zaman çarpım sonucu da negatif olacak. Burada bu durum var. Bir sayı negatif, yani çarpım negatif olacak. Burada eksi 4'ü kendisiyle 12 kere topladığınızı düşünebilirsiniz ve eksi 48 bulursunuz. Evet bir işlem daha yapalım. 7 çarpı 3 nedir? Burada bir şaşırtmaca var. Eksi sayı yok. Sadece 7 çarpı 3. Artı 7 çarpı artı 3. Yani videoyu izlemeden önce bildiğiniz ve videoda belirttiğimiz ilk durum. Bu, 21 olur değil mi. Bir tane daha yapalım. Eksi 5 çarpı eksi 10 Neydi kuralı hatırlayalım eksi çarpı eksi olduğunda, eksiler gider dedik ve çarpımın sonucu pozitif olacak. O zaman 5 çarpı 10, 50 olur. Eksiler birbirini götürür ve çarpımın sonucu pozitif olacak.

kaynağı değiştir]

• İki sıralı ikili birbirine eşit ise bu sıralı ikililerin aynı sıradaki bileşenleri eşittir.

(a,b) = (c,d) ise a =c ve b = d olmak zorundadır.

• s(AxB) = s(BxA) = s(A).s(B)
• A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
• A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
• A×(B – C) = (A×B) – (A×C)
• A×A =A2, A×A×A =A3, …
• A(x,y) ϵ R2 &#;ise bu noktanın birinci bileşenine noktanın apsisi, ikinci bileşenine ise noktanın ordinatı denir. Oluşan (x,y) ikilisine A’nın koordinatları denir. Kümelerin kartezyen çarpımlarının grafik çizimi yapılırken 1. bileşenler x koordinatına çizilirken 2. bileşenler ise y koordinatına çizilir.

Okulda çarpmayı öğrenirken çarpma işleminin mantığını da öğrenmiştik. Örneğin 3 x 5 işleminin 3 tane 5 anlamına geldiği öğretilmişti (5 + 5 + 5). İlerleyen yıllarda hayatımıza negatif sayılar girdi. Fakat negatif sayı içeren çarpma işlemlerinin mantığı bize öğretilmedi. Sadece negatif sayılar ile çarpma işlemlerinin kuralları ezberletildi. pozitif x negatif = negatif, negatif x pozitif = negatif ve negatif x negatif = pozitif. Bu makalemde bu işlemlerinin mantığından ve matematiksel olarak ispatlarından bahsedeceğim.

Pozitif x Pozitif, Pozitif x Negatif

Bahsettiğim gibi 3 x 5 'in 3 tane 5 olduğunu biliyoruz. Yani pozitif iki sayının çarpımı için herhangi bir sorunumuz yok. Benzer olarak 3 x (-5) için de aynı şeyi söyleyebiliriz, 3 x (-5) = 3 tane -5 demektir. Yani pozitif ve negatif çarpımı için de bir sorunumuz yok.

Negatif x Pozitif

Peki (-3) x 5 işlemini nasıl yorumlarız? -3 tane 5 diyemeyiz. Çünkü birşeyin miktarından bahsederken asla eksi kullanmayız. Bu nedenle mantıksal olarak bu ifadenin hiçbir anlamı yoktur. Fakat işlemi çarpmanın özelliklerinden yararlanarak anlamlı hale getirebiliriz. 3 x 5 aynı zamanda 5 x 3 'tür. Yani çarpma işlemindeki rakamlar yer değiştirirse sonuç değişmez. Bu nedenle (-3) x 5 işlemi 5 x (-3) işlemine eşittir. Bu işlem için 5 tane -3 diyebiliriz. Böylece işleme mantıksal bir anlam kazandırabilir ve bu mantık doğrultusunda sonuca ulaşabiliriz.

Negatif x Negatif

(-3) x (-5) işlemini mantıksal olarak yorumlamak önceki işlemler kadar kolay değildir. Daha önce bahsettiğim gibi -3 tane -5 diyemeyiz. Rakamların yerini değiştirsek bile (-5) x (-3) işlemini elde ederiz ki sonuç değişmez fakat mantıksal olarak yine -5 tane -3 diyemeyiz. Bu nedenle ilk olarak bazı kabuller yapalım ve iki negatif sayının çarpımının pozitif bir sayı olduğunu matematiksel olarak ispatlayalım.

(-3) x (-5) işleminin yer alacağı başka bir eşitliğe bakalım.

Gördüğünüz gibi iki negatif sayı çarpımının bir pozitif sayı olduğunu basit matematiksel işlemler ile kanıtlayabildik. Peki bu işlemi nasıl anlamlandırabiliriz. Şimdiye kadar öğrendiğimiz mantık sistemi negatif iki sayının çarpımını açıklayamamaktadır. Bunun için negatif - pozitif ne olursa olsun her çarpım işlemini anlamlı hale getiren farklı bir mantık sistemine göz atmamız gerekiyor.

Bu sistem sayı doğrusudur.

Bu sistem üzerinde, sıfır noktasında durduğumuzu düşünerek 2x3 işlemini anlamlandıralım. İlk sayı pozitif olduğu için yüzümüzü + yöne çevirelim. İkinci sayı da pozitif olduğundan ileriye doğru hareket edelim. Hareket doğrultularını bulduğumuza göre (artı yöne ve ileriye) sayıların eksi veya artı olduğuna bakmadan çarpma işlemini yapalım ve kaç adım atmamız gerektiğini bulalım (Her adımda 1 birim yol katediyoruz). 2x3 = 6. Yani sonucu bulmak için artı yöne ve ileriye doğru 6 adım atmamız gerekiyor. Son bulunduğumuz yere bakarsak sonucun + 6 olduğunu görürüz.

-2x3 işlemini yapalım.

2x-3 işlemi

Son olarak -2x-3 işlemini yapalım.

Gördüğünüz gibi mantık sistemini sayı doğrusu üzerine kurarsak bütün çarpma işlemleri anlamlı hale gelmekte ve matematiksel ispatın yanında mantıksal olarak da neden negatif iki sayının çarpımı pozitiftir sorusu cevaplanabilmektedir.