L Hospital Kuralı Nedir
L'Hopital kuralının bir daha gözden geçirilmesi
If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.
Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *seafoodplus.info ve *seafoodplus.info adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.
L'Hôpital kuralı nedir?
Bölümlerin limitlerini bulmak için L'Hôpital kuralının kullanılması
Üslerin limitlerini bulmak için L'Hôpital kuralının kullanılması
L'Hospital Kuralı
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini hesapladığımızda \( \frac{0}{0} \) ya da \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliklerinden birini elde ediyorsak ya da diğer belirsizliklerden birini elde ediyorsak ve ifadeyi bu iki belirsizlikten birine dönüştürebiliyorsak L'Hospital kuralı kullanarak limit değerini bulmayı deneyebiliriz.
L'Hospital kuralı türev alma kurallarını bilmeyi gerektirmektedir.
\( f \) ve \( g \), \( a \) noktasını içeren açık bir aralıkta tanımlı, \( a \) noktasının iki tarafında türevlenebilir olan, \( a \) noktasında türevlenebilir olan ya da olmayan birer fonksiyon olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \) limitinde,
\( \frac{0}{0} \) ya da \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizlikleri elde ediliyorsa,
\( \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \)
eşitliği kullanılarak limit değeri hesaplanabilir.
L'Hospital kuralını kullanabilmemiz için \( \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) limitinin tanımlı olması gerekmektedir.
L'Hospital kuralı özetle bu iki belirsizlikten biri ile karşılaşmamız durumunda payın ve paydanın ayrı ayrı türevini alıp elde ettiğimiz yeni fonksiyonun limitini alabileceğimizi söyler. Buna göre fonksiyonların türevini aldığımızda elde ettiğimiz limit değeri orijinal ifadenin limitine eşittir.
ÖRNEK 1:
Aşağıdaki ifadenin \( x = 2 \) noktasındaki limitini hesaplayalım.
\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \)
\( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği konusunda bu ifadenin \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği oluşturduğunu bulmuş ve çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemiyle limitini bulmuştuk. Şimdi de ifadeye L'Hospital kuralı uygulayalım.
\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 4x^2 + 6x - 4}{x - 2} \)
\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x^3 - 4x^2 + 6x - 4)'}{(x - 2)'} \)
\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2 - 8x + 6}{1} \)
İfadede paydadan kurtulduğumuz için belirsizlik de ortadan kalkmış oldu. \( x = 2 \) koyarak limit değerini hesaplayalım.
\( = 3(2)^2 - 8(2) + 6 = 2 \)
L'Hospital kuralını kullanarak limit değerini çarpanlara ayırma yönteminde olduğu gibi 2 olarak bulmuş olduk.
L'Hospital kuralı uyguladığımızda belirsizlik hala devam ediyorsa elde ettiğimiz fonksiyona aynı kuralı (L'Hospital kuralının koşulları sağlandığı sürece) belirsizlik yok oluncaya kadar uygulayabiliriz.
\( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \ldots \)
ÖRNEK 2:
Aşağıdaki ifadenin \( x = 0 \) noktasındaki limitini hesaplayalım.
\( \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x^2} \)
İfadenin \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği oluşturduğunu görebiliriz.
\( \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x^2} = \dfrac{e^0 - 0 - 1}{0^2} = \dfrac{0}{0} \)
Pay ve paydanın türevini alarak L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{(e^x - x - 1)'}{(x^2)'} \)
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{2x} \)
\( x = 0 \) koyduğumuzda \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliğinin devam ettiğini görebiliriz. Bu yüzden ifadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{(e^x - 1)'}{(2x)'} \)
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{2} \)
Payda sabit terime dönüştüğü için belirsizlik ortadan kalkmış oldu, bu durumda \( x = 0 \) koyarak ifadenin limitini bulabiliriz.
\( = \dfrac{e^0}{2} = \dfrac{1}{2} \)
L'Hospital kuralını diğer yöntemlerle belirsizliği gideremediğimiz durumlarda da kullanabiliriz.
ÖRNEK 3:
Aşağıdaki ifadenin \( x = 0 \) noktasındaki limitini hesaplayalım.
\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \)
İfadenin \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği oluşturduğunu görebiliriz.
\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = \dfrac{\sin{0}}{0} = \dfrac{0}{0} \)
Pay ve paydanın türevini alarak L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{(\sin{x})'}{x'} \)
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos{x}}{1} \)
Payda sabit terime dönüştüğü için belirsizlik ortadan kalkmış oldu, bu durumda \( x = 0 \) koyarak ifadenin limitini bulabiliriz.
\( = \cos{0} = 1 \)
L'Hopital (L'Hospital) Kuralı'nın Özel Durum İspatı
If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.
Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *seafoodplus.info ve *seafoodplus.info adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.