SORU
\( f(x) = \dfrac{x}{x - 1} \) olduğuna göre,
\( f'(x) \) ifadesini bulalım.
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{x' \cdot (x - 1) - x \cdot (x - 1)'}{(x - 1)^2} \)
\( = \dfrac{x - 1 - x}{(x - 1)^2} \)
\( = -\dfrac{1}{(x - 1)^2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{x^7 + x^6 + x^{-5}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt{x} - 12} \) olduğuna göre
\( f'(64) \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Bu tip türevi karmaşık fonksiyonlarda ilk önce fonksiyonun istenen noktada türevli olup olmadığını kontrol edebiliriz.
Fonksiyonda \( x = 64 \) koyduğumuzda paydanın sıfır olduğunu, dolayısıyla fonksiyonun tanımsız olduğunu görüyoruz. Fonksiyon bu noktada tanımsız olduğu için aynı zamanda süreksizdir ve türevlenebilir değildir.
Dolayısıyla fonksiyon bu noktada türevsizdir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \) \( = (x^2 - 4x + 13) \cdot g^2(x) \) olarak tanımlanmıştır.
Verilen ifadeye göre \( (\dfrac{f}{g})'(2) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin iki tarafını \( g^2(x) \)'ye bölelim.
\( \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} = x^2 - 4x + 13 \)
Eşitliğin sol tarafının iki fonksiyonun bölümünün türevinin formülü olduğunu görüyoruz.
\( (\dfrac{f}{g})'(x) = x^2 - 4x + 13 \)
\( x = 2 \) koyarak bizden istenen ifadeyi hesaplayabiliriz.
\( (\dfrac{f}{g})'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 13 \)
\( = 9 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( g(x) = \dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \) olmak üzere,
\( g'(x) \) türevini bulalım.
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = \dfrac{(\sqrt[3]{x})' \cdot \sqrt{x} - \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt{x})'}{\sqrt{x}^2} \)
\( = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \dfrac{\sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}}}{x} \)
\( = \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}x^{-\frac{2}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{1}{2}}}{6x} \)
\( = \dfrac{2x^{-\frac{1}{6}} - 3x^{-\frac{1}{6}}}{6x} \)
\( = -\dfrac{x^{-\frac{1}{6}}}{6x} \)
\( = -\dfrac{1}{6x\sqrt[6]{x}} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{x^2 + mx}{3 - x} \) şeklinde verilmiştir.
\( f(1) + f'(2) = \dfrac{3}{2} \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Öncelikle \( f(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = \dfrac{1^2 + m \cdot 1}{3 - 1} \)
\( = \dfrac{1 + m}{2} \)
Bölme kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(2x + m) \cdot (3 - x) - (x^2 + mx) \cdot (-1)}{(3 - x)^2} \)
\( = \dfrac{(2x + m) \cdot (3 - x) + (x^2 + mx)}{(3 - x)^2} \)
Şimdi \( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(x) = \dfrac{(2 \cdot 2 + m) \cdot (3 - 2) + (2^2 + m \cdot 2)}{(3 - 2)^2} \)
\( = (4 + m) + (4 + 2m) \)
\( = 3m + 8 \)
Soruda verilen eşitlikteki ifadeleri yerlerine yazalım.
\( f(1) + f'(2) = \dfrac{3}{2} \)
\( \dfrac{1 + m}{2} + 3m + 8 = \dfrac{3}{2} \)
\( 1 + m + 6m + 16 = 3 \)
\( 7m = \)
\( m = -2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = x^3 - x \) olduğuna göre,
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster
SORU
\( f(x) = 2x^2 + 4x +1 \) olarak tanımlanmıştır.
Buna göre \( \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster
Verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki türevinin limit tanımına eşittir.
\( f'(2) = \lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 4x + 4 \)
Şimdi \( f'(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) koyalım.
\( f'(2) = 4 \cdot 2 + 4 \)
\( f'(2) = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( g(x) = x^2 + x + 3 \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to 3} \dfrac{g(3) - g(x)}{x - 3} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster
Paydaki terimlerin yerlerini değiştirirsek verilen ifade \( g \) fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasındaki türevinin limit tanımına eşittir.
\( g'(3) = \lim_{x \to 3} \dfrac{g(x) - g(3)}{x - 3} \)
\( -g'(3) = -\lim_{x \to 3} \dfrac{g(x) - g(3)}{x - 3} \)
\( -g'(3) = \lim_{x \to 3} \dfrac{g(3) - g(x)}{x - 3} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( g'(x) = 2x + 1 \)
Şimdi \( g'(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.
\( g'(3) = 2 \cdot 3 + 1 \)
\( g'(3) = 7 \)
Sorulan ifadenin eşiti \( -g'(3) \) olduğu için sonucu da \( -1 \) ile çarpalım.
\( -g'(3) = -7 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = 2x^3 - x^2 + 4x + \sqrt{3} \) ise \( f'(2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = 6x^2 - 2x + 4 \)
Türev fonksiyonunun \( x = 2 \) için değerini bulalım.
\( f'(2) = 6 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 4 \)
\( = 24 - 4 + 4 = 24 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[3]{x^2} \) ise,
\( \frac{dy}{dx} \)'in \( x = 64 \) için değeri nedir?
Çözümü Göster
\( \frac{dy}{dx} \) ifadesi fonksiyonun \( x \)'e göre birinci türevidir.
Fonksiyondaki köklü ifadeyi üslü ifadeye çevirelim.
\( f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{2}{3}} \)
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} - 2\dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} + 3\dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} \)
\( = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 2x^{-\frac{1}{3}} \)
\( = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{x}} \)
Türev fonksiyonunun \( x = 64 \) için değerini bulalım.
\( f'(64) = \dfrac{1}{2\sqrt{64}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{64^2}} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{64}} \)
\( = \dfrac{1}{16} - \dfrac{2}{48} + \dfrac{2}{4} \)
\( = \dfrac{25}{48} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = x^3 \cdot g(x) \)
\( g(2) = 4, \quad g'(2) = 3 \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Çarpım kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = (x^3)' \cdot g(x) + x^3 \cdot (g(x))' \)
\( f'(x) = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x) \)
\( x = 2 \) koyarak \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki türevini bulalım.
\( f'(2) = 3(2)^2 \cdot g(2) + 2^3 \cdot g'(2) \)
\( = 12 \cdot 4 + 8 \cdot 3 \)
\( = 72 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{x^2}{g(x) + 1} \)
\( g(2) = 3, \quad g'(2) = 2 \)
olduğuna göre, \( f'(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(x^2)' \cdot (g(x) + 1) - x^2 \cdot (g(x) + 1)'}{(g(x) + 1)^2} \)
\( = \dfrac{2x \cdot (g(x) + 1) - x^2 \cdot g'(x)}{(g(x) + 1)^2} \)
\( x = 2 \) koyarak \( f \) fonksiyonunun bu noktadaki türevini bulalım.
\( f'(2) = \dfrac{2(2) \cdot (g(2) + 1) - 2^2 \cdot g'(2)}{(g(2) + 1)^2} \)
\( = \dfrac{4 \cdot (3 + 1) - 4 \cdot 2}{(3 + 1)^2} \)
\( = \dfrac{16 - 8}{16} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} \) ise \( f'(4) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak \( f \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = \dfrac{(\sqrt{x} + 2)' \cdot \sqrt{x} - (\sqrt{x} + 2) \cdot (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x}^2)} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x} - (\sqrt{x} + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{x} + 2}{2\sqrt{x}}}{x} \)
\( f'(4) \) değerini bulmak için türev fonksiyonunda \( x = 4 \) koyalım.
\( f'(4) = \dfrac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{4} + 2}{2\sqrt{4}}}{4} = -\dfrac{1}{8} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( f(x) + f'(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonu nedir?
Çözümü Göster
\( f(x) \) bir polinom fonksiyonu olduğu için \( f'(x) \) fonksiyonunun derecesi \( f(x) \) fonksiyonunun derecesinden 1 eksik olur.
Buna göre \( f(x) + f'(x) \) fonksiyonu 2. dereceden ise \( f(x) \) de \( 2. \) dereceden olmalıdır.
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( f'(x) = 2ax + b \)
\( f(x) + f'(x) = 2x^2 + 8x + 6 \)
\( ax^2 + bx + c + 2ax + b = 2x^2 + 8x + 6 \)
\( ax^2 + (2a + b)x + b + c = 2x^2 + 8x + 6 \)
Birbirine eşit iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( a = 2 \)
\( 2a + b = 8 \Longrightarrow b = 4 \)
\( b + c = 6 \Longrightarrow c = 2 \)
\( f(x) = 2x^2 + 4x + 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( f \) ve \( g \) tüm reel sayılarda türevlenebilir fonksiyonlar,
\( f(2) = 3, \quad g(2) = 2 \),
\( f'(2) = -1, \quad g'(2) = 4 \) olduğuna göre,
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Bölme kuralını kullanarak \( \frac{f + g}{f \cdot g} \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})' = \dfrac{(f + g)' \cdot (f \cdot g) - (f + g) \cdot (f \cdot g)'}{(f \cdot g)^2} \)
\( = \dfrac{(f' + g') \cdot (f \cdot g) - (f + g) \cdot (f' \cdot g + f \cdot g')}{(f \cdot g)^2} \)
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) \) değerini bulmak için yukarıdaki türev fonksiyonunda ilgili değerleri yerine koyalım.
\( (\dfrac{f + g}{f \cdot g})'(2) = \dfrac{(f'(2) + g'(2)) \cdot f(2) \cdot g(2) - (f(2) + g(2)) \cdot (f'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2))}{(f(2) \cdot g(2))^2} \)
\( = \dfrac{(-1 + 4) \cdot 3 \cdot 2 - (3 + 2) \cdot (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 4)}{(3 \cdot 2)^2} \)
\( = \dfrac{18 - 50}{36} = -\dfrac{8}{9} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin