Düzgün Çokgenin Bir Iç Açısı Formülü
Düzgün Çokgenler
Tüm kenarlarının uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.
Düzgün Çokgenlerin Açı Özellikleri
\( n \) kenarlı bir düzgün çokgenin bir açı açısının ölçüsü aşağıdaki formüller bulunabilir.
\( \text{Çokgenin iç açıları toplamı} = (n - 2) \cdot ° \)
\( \text{Bir iç açı ölçüsü} = \dfrac{(n - 2) \cdot °}{n} \)
\( n \) kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü aşağıdaki formüller bulunabilir.
\( \text{Bir dış açı ölçüsü} = \dfrac{°}{n} \)
\( n \) çift sayı olmak üzere, \( n \) kenarlı bir düzgün çokgenin karşılıklı (uzak) köşeleri arasında çizilen köşegenler için aşağıdakiler doğrudur.
- Köşegenler düzgün çokgenin merkezinde tek bir noktada kesişirler.
- Her köşegen birleştirdiği köşelerin açıortayıdır.
- Köşegenler birbirini ortalar.
- Köşegenler düzgün çokgenin alanını \( n \) eşit bölgeye ayırır.
- Köşegenlerin kesişimi olan nokta, aynı zamanda düzgün çokgenin iç teğet ve çevrel çemberlerinin merkezidir.
En Sık Kullanılan Düzgün Çokgenler
| Şekil | İç Açılar Toplamı | Bir İç Açı Ölçüsü | Dış Açılar Toplamı | Bir Dış Açı Ölçüsü |
|---|---|---|---|---|
Düzgün Çokgen | \( (n - 2) \cdot ° \) | \( \dfrac{(n - 2) \cdot °}{n} \) | \( ° \) | \( \dfrac{°}{n} \) |
Eşkenar Üçgen | \( ° \) | \( 60° \) | \( ° \) | \( ° \) |
Kare | \( ° \) | \( 90° \) | \( ° \) | \( 90° \) |
Düzgün Beşgen | \( ° \) | \( ° \) | \( ° \) | \( 72° \) |
Düzgün Altıgen | \( ° \) | \( ° \) | \( ° \) | \( 60° \) |
Düzgün Sekizgen | \( ° \) | \( ° \) | \( ° \) | \( 45° \) |
Düzgün Altıgen
Düzgün altıgenin karşılıklı (uzak) köşeleri arası çizilen köşegenler aynı zamanda birleştirdikleri köşelerin açıortayı oldukları için, bu köşegenler 6 eşkenar üçgen oluştururlar.
Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan düzgün altıgenin alanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( \text{Bir eşkenar üçgenin yüksekliği} = \dfrac{\sqrt{3}a}{2} \)
\( \text{Bir eşkenar üçgenin alanı} = \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \)
\( \text{Düzgün altıgenin alanı} = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \)
Karşılıklı köşeler arası çizilen köşegenler, düzgün altıgenin alanını 6 eşit bölgeye ayırır.
Bir düzgün altıgenin farklı noktaları arasında çizilen doğru parçaları, düzgün altıgenin alanını aşağıdaki oranlarda böler.
Kosinüs teoremini kullanarak \( \abs{AC} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{AB} = \abs{BC} = a \)
\( m(\widehat{ABC}) = ° \)
\( \abs{AC}^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos{°} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{3} a \)
\( [AK] \) doğru parçası, \( \overset{\triangle}{ABO} \) üçgeninin yüksekliği ise, bu yüksekliğin uzunluğunu aşağıdaki gibi bulmuştuk.
\( \abs{AK} = \dfrac{\sqrt{3}a}{2} \)
\( \abs{AC} \) uzunluğunun \( \abs{AK} \)'nin iki katı olduğunu görüyoruz, buna göre bu iki doğru parçası çakışıktır ve \( [AC] \) doğru parçası aynı zamanda \( \overset{\triangle}{ABO} \) ve \( \overset{\triangle}{BCO} \) üçgenlerinin yüksekliği ve kenarortayıdır ve alanlarını ikiye böler. Bu yüzden, \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin alanı, köşegenlerin oluşturduğu eşkenar üçgenlerden birinin alanına eşittir.
\( A(\overset{\triangle}{ABK}) = \dfrac{A(\overset{\triangle}{ABO})}{2} \)
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = 2 \cdot A(\overset{\triangle}{ABK}) \)
\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = A(\overset{\triangle}{ABO}) \)
İspatta hata bildirin
Düzgün Sekizgen
Düzgün sekizgende karşılıklı (uzak) köşeler arası çizilen köşegenlerin merkezde oluşturduğu açıların her biri \( \dfrac{°}{8} = 45° \)'dir. Buna göre, bu şekilde oluşan açılardan iki tanesi bir dik açı oluşturur.
Karşılıklı köşeler arası çizilen köşegenler, düzgün sekizgenin alanını 8 eşit bölgeye ayırır.
Bir düzgün sekizgenin farklı noktaları arasında çizilen doğru parçaları, düzgün sekizgenin alanını aşağıdaki oranlarda böler.
D&#;zg&#;n &#;okgen Nedir? Kısaca D&#;zg&#;n &#;okgenlerin &#;zellikleri Nelerdir?
Bir köşe üzerinden (n-3) adet köşegen çizilebilir. Ayrıca (n-2) adet üçgen meydana gelir.
Toplam n(n-3)/2 adet köşegen mevcuttur.
Bir çokgenin çizilmesi için en az n - 2 tane uzunluk ile birlikte en az n- 1 tane açının bilinmesi gerekir. Toplamda ise en az 2n-3 elemanın bilinmesi gerekir.
Tüm kenarlarının uzunlukları eşit olan ve tüm açılarının ölçüleri eşit biçimde olan çokgenlere düzgün çokgen adı verilir.
Düzgün Çokgen Nedir?
Bütün kenar uzunluklarının ve açılarının eşit olduğu çokgenlere düzgün çokgenler adı verilir. Düzgün çokgenin çok sayıda ve bununla birlikte birbirinden farklı olan niteliklere sahip çeşitleri bulunur. Bu çeşitlerin nitelikleri birbirinden farklıdır.
Düzgün Çokgenin Çeşitleri Nelerdir?
Düzgün çokgenler çok farklı yapıda olan çeşitlerini bünyelerinde bulundurur. Bu çokgenlere birkaç tane örneği şu şekilde sıralamak mümkündür:
Üçgenler
Dörtgenler
Beşgenler
Altıgenler
Yedigenler
Sekizgenler
Dokuzgenler
Ongenler
Onbirgenler
Onikigenler
Onüçgenler
Ondörtgenler
Onbeşgenler
Onaltıgenler
Onyedigenler
Onsekizgenler
Ondokuzgenler
Yirmigenler
genler
Bingenler
Onbingenler
genler
Düzgün Çokgenin Özellikleri Nelerdir?
kenarlı olan düzgün bir çokgenin iç açılarının ölçüsü, (n-2)/n * formülü vasıtası ile tespit edilir.
kenarlı olan düzgün bir çokgenin dış açısının ölçüsü ise 1/n* bağıntısı vasıtası ile tespit edilir.
Her bir düzgün olan çokgenin iç açıortayları tek bir nokta içerisinde kesişirler. Bahsedilen bu nokta, ayrıca hem düzgün olan çokgenin ağırlık merkezi, hem düzgün olan çokgenin iç teğet dairesinin merkezi, hem de düzgün olan çokgenin çevrel çemberinin merkezi olur.