Bir Sayının Çarpma İşlemine Göre Tersi Ne Demektir?
Bir sayıyı hangi sayı ile çarparsak sonuç 1 çıkar sorusunun cevabı, çarpma işlemine göre tersi işlemini ortaya çıkarıyor. Yani yapılan bu işlem sonucunda çarpma işlemine göre tersi ile beraber bir sonucu ortaya çıkarılır. Bu işlemi tanımı ise şudur;
‘Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayının birbirine göre tersine, çarpma işlemine göre tersi’ denir. Böylece iki rasyonel sayı üzerinden yapılan işlem sonucunda, daima sonuç 1 çıkar. Öğrencilerin bunu tam olarak bilmesi, yapılacak matematik işlemlerinde büyük kolaylık sağlar.
Bir Sayının Çarpmaya Göre Tersi Nasıl Bulunur?
Bir sayının çarpmaya göre tersini bulabilmek için, pay ve paydası yer değiştirilir. Yani iki farklı rasyonel sayıyı ele alınır ve bunun üzerinden işlem yapılır. Bunu bir örnek vermek gerekirse;
2/7 x 7/2 = 1/1 = 1
Görüldüğü üzere bir rasyonel sayının pay ve paydaları yeri değiştirildiği vakit, yapılacak çarpım üzerinden sonuç bir çıkıyor. Bu hangi rasyonel sayı ile gerçekleşirse gerçekleşsin, mutlaka ve her daim sonuç bir olarak elde edilir.
Bu bölümde karmaşık sayılarda işlemleri aşağıdaki üç örnek sayı üzerinden inceleyeceğiz.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( z_3 = a_3 + b_3i \)
İki karmaşık sayı birbirine eşitse reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.
\( z_1 = z_2 \Longleftrightarrow a_1 = a_2 \) ve \( b_1 = b_2 \)
ÖRNEK:
\( z_1 = a - \sqrt{2}i \)
\( z_2 = 4 + bi \)
\( z_1 = z_2 \) ise,
\( a = 4, \quad b = -\sqrt{2} \)
İki karmaşık sayı arasındaki toplama işleminde sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.
\( z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 3 - 4i \)
\( z_2 = 2 + 7i \)
\( z_1 + z_2 = (3 + 2) + (-4 + 7)i \) \( = 5 + 3i \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 0 + 0i = 0 \) sayısıdır.
\( z_e = 0 + 0i = 0 \)
\( z_1 + z_e = (a_1 + 0) + (b_1 + 0)i = z_1 \)
Bir \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi, \( z \) ile toplandığında 0 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi \( -z \) sayısıdır.
\( -z_1 = -(a_1 + b_1i) = -a_1 - b_1i \)
\( z_1 + (-z_1) = 0 \)
ÖRNEK:
\( z_1 = -2 + 5i \)
\( -z_1 = -(-2 + 5i) = 2 - 5i \)
\( z_1 + (-z_1) = (-2 + 2) + (5 + (-5))i = 0 \)
İki karmaşık sayı arasındaki çıkarma işleminde sayıların reel ve sanal kısımlarının kendi aralarında farkı alınır.
\( z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 5 + i \)
\( z_2 = 5 - 3i \)
\( z_1 - z_2 = (5 - 5) + (1 - (-3))i = 4i \)
Bir karmaşık sayının bir reel sayı ile çarpımında karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı reel sayı ile çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( c \cdot z_1 = c(a_1 + b_1i) \)
\( = ca_1 + cb_1i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 4 - 5i \)
\( 3 \cdot z_1 = 12 - 15i \)
İki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde birinci sayının her terimi ikinci sayının her terimiyle çarpılır ve bu çarpımların toplamı alınır.
Sayıların sanal kısımlarının çarpımında oluşan \( i^2 \) ifadeleri \( -1 \) olarak sadeleşir ve sonucun reel kısmına dahil olur.
\( z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i) \cdot (a_2 + b_2i) \)
\( = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2 \)
\( = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 3 - 2i \)
\( z_2 = 4 + 3i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (3 - 2i) \cdot (4 + 3i) \)
\( = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3i - 4 \cdot 2i - 2i \cdot 3i \)
\( = 12 + 9i - 8i - 6i^2 \)
\( = 18 + i \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır.
\( z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \)
\( z_1 \cdot (z_2 - z_3) = z_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot z_3 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 1 + 0i = 1 \) sayısıdır.
\( z_e = 1 + 0i \)
\( z_1 \cdot z_e = (a_1 + b_1i) \cdot (1 + 0i) = z_1 \)
Aşağıdaki iki karmaşık sayının karelerinin akılda tutulması faydalı olacaktır.
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Bir \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi, \( z \) ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi \( z^{-1} = \frac{1}{z} \) sayısıdır.
Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini bulmak için, bölme işleminde olduğu gibi pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z \ne 0 \) olmak üzere,
\( z \cdot z^{-1} = 1 \)
\( z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{a + bi} \)
\( = \dfrac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} \)
\( = \dfrac{a - bi}{a^2 - b^2i^2} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2} \)
\( = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i \)
ÖRNEK:
\( z = 4 - 3i \)
\( z^{-1} = \dfrac{4}{4^2 + 3^2} - \dfrac{-3}{4^2 + 3^2}i \)
\( = \dfrac{4}{25} + \dfrac{3}{25}i \)
İki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde amaç paydadaki sanal bileşenden kurtulmaktır, bunun için pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \)
\( = \dfrac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 - a_1b_2i + a_2b_1i - b_1b_2i^2}{a_2^2 - a_2b_2i + a_2b_2i - b_2^2i^2} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 5 - 10i \)
\( z_2 = 2 + i \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{5 - 10i}{2 + i} \)
\( = \dfrac{(5 - 10i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} \)
\( = \dfrac{10 - 5i - 20i - 10}{4 - 2i + 2i + 1} \)
\( = \dfrac{i}{5} = -5i \)
SORU 1:
\( z_1 = 2 + 3i \)
\( z_2 = 4 - 2i \) ise,
aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
\( z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (4 - 2i) \)
\( = (2 + 4) + (3 - 2)i \)
\( = 6 + i \)
\( z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (4 - 2i) \)
\( = (2 - 4) + (3 - (-2))i \)
\( = - 2 + 5i \)
\( 2z_1 + 4z_2 = 2(2 + 3i) + 4(4 - 2i) \)
\( = 4 + 6i + 16 - 8i \)
\( = (4 + 16) + (6 - 8)i \)
\( = 20 - 2i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 - 2i) \)
\( = 8 - 4i + 12i - 6i^2 \)
\( = 8 + 8i + 6 \)
\( = 14 + 8i \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2 + 3i}{4 - 2i} \)
Paydayı eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(2 + 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} \)
\( = \dfrac{8 + 4i + 12i + 6i^2}{16 + 8i - 8i - 4i^2} \)
\( = \dfrac{2 + 16i}{20} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{5}i \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( \dfrac{a + bi}{2 - 3i} = -2 + 5i \) ise,
\( a + b \) toplamınının sonucu nedir?
Çözümü GösterSol tarafın paydasını karşı tarafa atalım.
\( a + bi = (-2 + 5i)(2 - 3i) \)
\( = -4 + 6i + 10i - 15i^2 \)
\( a + bi = 11 + 16i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = 11, \quad b = 16 \)
\( a + b = 11 + 16 = 27 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( m \) ve \( n \) reel sayılar olmak üzere,
\( \sqrt{-4} + (1 + i)^2 + mi - 1 = (1 - i)^2 + 3 - n \)
olduğuna göre, \( m \cdot n \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikteki terimleri sadeleştirelim.
\( \sqrt{-4} = 2\sqrt{-1} = 2i \)
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Bulduğumuz değerleri eşitlikte yerine koyalım.
\( 2i + 2i + mi - 1 = -2i + 3 - n \)
\( 6i + mi - 4 + n = 0 \)
\( (6 + m)i - 4 + n = 0 \)
Bir karmaşık sayı 0'a eşitse reel ve sanal kısımları ayrı ayrı 0'a eşittir.
\( 6 + m = 0 \Longrightarrow m = -6 \)
\( - 4 + n = 0 \Longrightarrow n = 4 \)
\( m \cdot n = -6 \cdot 4 = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( f(x) = x + xi \) ve \( g(x) = 2x - xi \) fonksiyonları,
\( f(a) + g(b) = 5 + 2i \) eşitliğini sağlıyor.
Buna göre, \( a + b \) toplamını bulunuz.
Çözümü Göster\( f(a) + g(b) = (a + ai) + (2b - bi) = 5 + 2i \)
\( a + 2b + (a - b)i = 5 + 2i \)
İki karmaşık sayı birbirine eşitse sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a + 2b = 5 \)
\( a - b = 2 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 3, \quad b = 1 \)
\( a + b = 3 + 1 = 4 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = \dfrac{a^2 + 9}{a - 3i} \)
Buna göre \( Im(z) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( z = \dfrac{a^2 - 9i^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{a^2 - (3i)^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{(a - 3i)(a + 3i)}{a - 3i} \)
\( = a + 3i \)
\( Im(z) = 3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( (a - 1) + (b + 2)i = i \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( \dfrac{a + bi}{a - bi} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü Göster\( (a - 1) + (b + 2)i = 0 + i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a - 1 = 0 \Longrightarrow a = 1 \)
\( b + 2 = 1 \Longrightarrow b = -1 \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( \dfrac{a + bi}{a - bi} = \dfrac{1 - i}{1 + i} \)
Payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \)
\( = \dfrac{1 - 2i + i^2}{1^2 - i^2} \)
\( = \dfrac{-2i}{2} = -i \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( a \) sıfırdan farklı bir reel sayı ve \( i \) sanal birim olmak üzere,
\( \dfrac{a - i}{a + i} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \) çarpımının sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin birinci çarpanının pay ve paydasını \( i \) ile çarpalım.
\( \dfrac{i \cdot (a - i)}{i \cdot (a + i)} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai - i^2}{ai + i^2} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai + 1}{ai - 1} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Birinci çarpanın paydasını düzenleyelim.
\( = -\dfrac{1 + ai}{1 - ai} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Pay ve paydadaki çarpanlar sadeleşir.
\( = -1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.
Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *funduszeue.info ve *funduszeue.info adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.
Bölme işlemi çıkarma işleminin kısaltılmış şeklidir. Çıkarma işleminin tersi ise toplama işlemidir.Toplama işlemi=Çarpma işlemi olduğuna göre cevap çarpma işlemidir.
Bölmenin sağlamasını yapmak için de çarpma işlemini kullanırız. Sonuç yani bölüm ile böleni çarparız, eğer bu işlemde bölüneni bulursak bölme işlemimiz doğru anlamına gelir.
Matematikte, bir a sayısını toplamaya göre tersi, a ile toplamı 0 olan bir sayıdır. Bu işleme, işaret değiştirme veya negasyon denir. Reel sayı için ters işarettir: Pozitif sayının tersi negatif ve negatif sayının tersi pozitiftir. Toplamaya göre ters, toplamanın ikili işlemleri ile ters öge olarak tanımlanır.
Karmaşık sayılarda çarpma işlemine göre tersi denildiğinde 1/z işlemini istiyor demektir. z sayısı i ve 1/z sayısı ise 1/(i) dir. Sonraki işlem ise iki tarafın da z sayısının eşleniği ile genişletilmesidir. z nin eşleniği 2+3i dir.
Rasyonel sayılarda çarpma işlemine göre tersi ise o sayının 1/ şeklinde yazılmasıdır.
172394 172395 172396 172397 172398
çamaşır makinesi ses çıkarması topuz modelleri kapalı huawei hoparlör cızırtı hususi otomobil fiat doblo kurbağalıdere parkı ecele sitem melih gokcek jelibon 9 sınıf 2 dönem 2 yazılı almanca 150 rakı fiyatı 2020 parkour 2d en iyi uçlu kalem markası hangisi doğduğun gün ayın görüntüsü hey ram vasundhara das istanbul anadolu 20 icra dairesi iletişim silifke anamur otobüs grinin 50 tonu türkçe altyazılı bir peri masalı 6. bölüm izle sarayönü imsakiye hamile birinin ruyada bebek emzirdigini gormek eşkiya dünyaya hükümdar olmaz 29 bölüm atv emirgan sahili bordo bereli vs sat akbulut inşaat pendik satılık daire atlas park avm mağazalar bursa erenler hava durumu galleria avm kuaför bandırma edirne arası kaç km prof dr ali akyüz kimdir venom zehirli öfke türkçe dublaj izle 2018 indir a101 cafex kahve beyazlatıcı rize 3 asliye hukuk mahkemesi münazara hakkında bilgi 120 milyon doz diyanet mahrem açıklaması honda cr v modifiye aksesuarları ören örtur evleri iyi akşamlar elle abiye ayakkabı ekmek paparası nasıl yapılır tekirdağ çerkezköy 3 zırhlı tugay dört elle sarılmak anlamı sarayhan çiftehan otel bolu ocakbaşı iletişim kumaş ne ile yapışır başak kar maydonoz destesiyem mp3 indir eklips 3 in 1 fırça seti prof cüneyt özek istanbul kütahya yol güzergahı aski memnu soundtrack selçuk psikoloji taban puanları senfonilerle ilahiler adana mut otobüs gülben ergen hürrem rüyada sakız görmek diyanet pupui petek dinçöz mat ruj tenvin harfleri istanbul kocaeli haritası kolay starbucks kurabiyesi 10 sınıf polinom test pdf arçelik tezgah üstü su arıtma cihazı fiyatları şafi mezhebi cuma namazı nasıl kılınır ruhsal bozukluk için dua pvc iç kapı fiyatları işcep kartsız para çekme vga scart çevirici duyarsızlık sözleri samsung whatsapp konuşarak yazma palio şanzıman arızası