Bu bölümde karmaşık sayılarda işlemleri aşağıdaki üç örnek sayı üzerinden inceleyeceğiz.
\( z_1 = a_1 + b_1i \)
\( z_2 = a_2 + b_2i \)
\( z_3 = a_3 + b_3i \)
Karmaşık Sayıların Eşitliği
İki karmaşık sayı birbirine eşitse reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir. Benzer şekilde, iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir.
\( z_1 = z_2 \Longleftrightarrow a_1 = a_2 \) ve \( b_1 = b_2 \)
ÖRNEK:
\( z_1 = a - \sqrt{2}i \)
\( z_2 = 4 + bi \)
\( z_1 = z_2 \) ise,
\( a = 4, \quad b = -\sqrt{2} \)
Karmaşık Sayılarda Toplama
İki karmaşık sayı arasındaki toplama işleminde sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.
\( z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 3 - 4i \)
\( z_2 = 2 + 7i \)
\( z_1 + z_2 = (3 + 2) + (-4 + 7)i \) \( = 5 + 3i \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \)
Karmaşık sayılarda toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 0 + 0i = 0 \) sayısıdır.
\( z_e = 0 + 0i = 0 \)
\( z_1 + z_e = (a_1 + 0) + (b_1 + 0)i = z_1 \)
Karmaşık Sayıların Toplamaya Göre Tersi
Bir \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi, \( z \) ile toplandığında 0 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının toplamaya göre tersi \( -z \) sayısıdır.
\( -z_1 = -(a_1 + b_1i) = -a_1 - b_1i \)
\( z_1 + (-z_1) = 0 \)
ÖRNEK:
\( z_1 = -2 + 5i \)
\( -z_1 = -(-2 + 5i) = 2 - 5i \)
\( z_1 + (-z_1) = (-2 + 2) + (5 + (-5))i = 0 \)
Karmaşık Sayılarda Çıkarma
İki karmaşık sayı arasındaki çıkarma işleminde sayıların reel ve sanal kısımlarının kendi aralarında farkı alınır.
\( z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 5 + i \)
\( z_2 = 5 - 3i \)
\( z_1 - z_2 = (5 - 5) + (1 - (-3))i = 4i \)
Karmaşık Sayılarda Çarpma
Bir karmaşık sayının bir reel sayı ile çarpımında karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı reel sayı ile çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( c \cdot z_1 = c(a_1 + b_1i) \)
\( = ca_1 + cb_1i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 4 - 5i \)
\( 3 \cdot z_1 = 12 - 15i \)
İki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde birinci sayının her terimi ikinci sayının her terimiyle çarpılır ve bu çarpımların toplamı alınır.
Sayıların sanal kısımlarının çarpımında oluşan \( i^2 \) ifadeleri \( -1 \) olarak sadeleşir ve sonucun reel kısmına dahil olur.
\( z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i) \cdot (a_2 + b_2i) \)
\( = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2 \)
\( = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 3 - 2i \)
\( z_2 = 4 + 3i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (3 - 2i) \cdot (4 + 3i) \)
\( = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3i - 4 \cdot 2i - 2i \cdot 3i \)
\( = 12 + 9i - 8i - 6i^2 \)
\( = 18 + i \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
\( z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır.
\( z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \)
\( z_1 \cdot (z_2 - z_3) = z_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot z_3 \)
Karmaşık sayılarda çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı \( 1 + 0i = 1 \) sayısıdır.
\( z_e = 1 + 0i \)
\( z_1 \cdot z_e = (a_1 + b_1i) \cdot (1 + 0i) = z_1 \)
Aşağıdaki iki karmaşık sayının karelerinin akılda tutulması faydalı olacaktır.
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Karmaşık Sayıların Çarpmaya Göre Tersi
Bir \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi, \( z \) ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır. Buna göre \( z \) karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi \( z^{-1} = \frac{1}{z} \) sayısıdır.
Bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini bulmak için, bölme işleminde olduğu gibi pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z \ne 0 \) olmak üzere,
\( z \cdot z^{-1} = 1 \)
\( z^{-1} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{a + bi} \)
\( = \dfrac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} \)
\( = \dfrac{a - bi}{a^2 - b^2i^2} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2} \)
\( = \dfrac{a}{a^2 + b^2} - \dfrac{b}{a^2 + b^2}i \)
ÖRNEK:
\( z = 4 - 3i \)
\( z^{-1} = \dfrac{4}{4^2 + 3^2} - \dfrac{-3}{4^2 + 3^2}i \)
\( = \dfrac{4}{25} + \dfrac{3}{25}i \)
Karmaşık Sayılarda Bölme
İki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde amaç paydadaki sanal bileşenden kurtulmaktır, bunun için pay ve payda paydadaki sayının eşleniği ile çarpılır.
\( z_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} \)
\( = \dfrac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 - a_1b_2i + a_2b_1i - b_1b_2i^2}{a_2^2 - a_2b_2i + a_2b_2i - b_2^2i^2} \)
\( = \dfrac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \dfrac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i \)
ÖRNEK:
\( z_1 = 5 - 10i \)
\( z_2 = 2 + i \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{5 - 10i}{2 + i} \)
\( = \dfrac{(5 - 10i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} \)
\( = \dfrac{10 - 5i - 20i - 10}{4 - 2i + 2i + 1} \)
\( = \dfrac{i}{5} = -5i \)
SORU 1:
\( z_1 = 2 + 3i \)
\( z_2 = 4 - 2i \) ise,
aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
- \( z_1 + z_2 \)
- \( z_1 - z_2 \)
- \( 2z_1 + 4z_2 \)
- \( z_1 \cdot z_2\)
- \( \dfrac{z_1}{z_2} \)
Çözümü Göster
\( z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (4 - 2i) \)
\( = (2 + 4) + (3 - 2)i \)
\( = 6 + i \)
\( z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (4 - 2i) \)
\( = (2 - 4) + (3 - (-2))i \)
\( = - 2 + 5i \)
\( 2z_1 + 4z_2 = 2(2 + 3i) + 4(4 - 2i) \)
\( = 4 + 6i + 16 - 8i \)
\( = (4 + 16) + (6 - 8)i \)
\( = 20 - 2i \)
\( z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 - 2i) \)
\( = 8 - 4i + 12i - 6i^2 \)
\( = 8 + 8i + 6 \)
\( = 14 + 8i \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2 + 3i}{4 - 2i} \)
Paydayı eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(2 + 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} \)
\( = \dfrac{8 + 4i + 12i + 6i^2}{16 + 8i - 8i - 4i^2} \)
\( = \dfrac{2 + 16i}{20} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{5}i \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( \dfrac{a + bi}{2 - 3i} = -2 + 5i \) ise,
\( a + b \) toplamınının sonucu nedir?
Çözümü Göster
Sol tarafın paydasını karşı tarafa atalım.
\( a + bi = (-2 + 5i)(2 - 3i) \)
\( = -4 + 6i + 10i - 15i^2 \)
\( a + bi = 11 + 16i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = 11, \quad b = 16 \)
\( a + b = 11 + 16 = 27 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( m \) ve \( n \) reel sayılar olmak üzere,
\( \sqrt{-4} + (1 + i)^2 + mi - 1 = (1 - i)^2 + 3 - n \)
olduğuna göre, \( m \cdot n \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikteki terimleri sadeleştirelim.
\( \sqrt{-4} = 2\sqrt{-1} = 2i \)
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i \)
Bulduğumuz değerleri eşitlikte yerine koyalım.
\( 2i + 2i + mi - 1 = -2i + 3 - n \)
\( 6i + mi - 4 + n = 0 \)
\( (6 + m)i - 4 + n = 0 \)
Bir karmaşık sayı 0'a eşitse reel ve sanal kısımları ayrı ayrı 0'a eşittir.
\( 6 + m = 0 \Longrightarrow m = -6 \)
\( - 4 + n = 0 \Longrightarrow n = 4 \)
\( m \cdot n = -6 \cdot 4 = \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( f(x) = x + xi \) ve \( g(x) = 2x - xi \) fonksiyonları,
\( f(a) + g(b) = 5 + 2i \) eşitliğini sağlıyor.
Buna göre, \( a + b \) toplamını bulunuz.
Çözümü Göster
\( f(a) + g(b) = (a + ai) + (2b - bi) = 5 + 2i \)
\( a + 2b + (a - b)i = 5 + 2i \)
İki karmaşık sayı birbirine eşitse sayıların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a + 2b = 5 \)
\( a - b = 2 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 3, \quad b = 1 \)
\( a + b = 3 + 1 = 4 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = \dfrac{a^2 + 9}{a - 3i} \)
Buna göre \( Im(z) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( z = \dfrac{a^2 - 9i^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{a^2 - (3i)^2}{a - 3i} \)
\( = \dfrac{(a - 3i)(a + 3i)}{a - 3i} \)
\( = a + 3i \)
\( Im(z) = 3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( (a - 1) + (b + 2)i = i \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( \dfrac{a + bi}{a - bi} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü Göster
\( (a - 1) + (b + 2)i = 0 + i \)
Birbirine eşit iki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a - 1 = 0 \Longrightarrow a = 1 \)
\( b + 2 = 1 \Longrightarrow b = -1 \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( \dfrac{a + bi}{a - bi} = \dfrac{1 - i}{1 + i} \)
Payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \dfrac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \)
\( = \dfrac{1 - 2i + i^2}{1^2 - i^2} \)
\( = \dfrac{-2i}{2} = -i \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( a \) sıfırdan farklı bir reel sayı ve \( i \) sanal birim olmak üzere,
\( \dfrac{a - i}{a + i} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \) çarpımının sonucu nedir?
Çözümü Göster
İfadenin birinci çarpanının pay ve paydasını \( i \) ile çarpalım.
\( \dfrac{i \cdot (a - i)}{i \cdot (a + i)} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai - i^2}{ai + i^2} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
\( = \dfrac{ai + 1}{ai - 1} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Birinci çarpanın paydasını düzenleyelim.
\( = -\dfrac{1 + ai}{1 - ai} \cdot \dfrac{1 - ai}{1 + ai} \)
Pay ve paydadaki çarpanlar sadeleşir.
\( = -1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin