Казино Математическое Моделирование

править код]

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл

Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на отрезке интегрирования . Тогда также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как

где &#;— плотность распределения случайной величины , равная на участке . Таким образом, искомый интеграл выражается как

но математическое ожидание случайной величины можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем точек, равномерно распределённых на , для каждой точки вычисляем . Затем вычисляем выборочное среднее: . В итоге получаем оценку интеграла:

Точность оценки зависит только от количества точек .

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как , и суммируем их площади.

Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования[править править код]

Прямое моделирование методом Монте-Карло[править

Математическая задачка № 5 (математика в казино)

Добрый вечер, коллеги!

Раз уж сегодня зашел разговор про трейдинг и казино — хочу предложить вам воскресным вечером несложную задачку.
Она, правда, не моя (встречал потом в одной неглупой книжке по фракталам), но я ее решил независимо.

Итак.
Вы приходите в казино играть на европейской рулетке (с одним зеро). Как известно, матожидание каждой ставки составляет -1/
У вас с собой есть $1, Вы отчетливо понимаете, что на длинной дистанции проиграете эту сумму.
Но вам кровь из носу к утру нужно $10, Отдать долги бандосам, купить своей шубку, не хватает на авто и т.д. и т.п.
Так что вам нужно максимизировать вероятность достижения результата в $10, из имеющихся $1,
Для упрощения задачи допускаем только ставки на красное или черное (цвет). Еще раз считаем МО = 18//37 = -1/ Все верно.

ВОПРОС:
1. Какие ставки нужно делать, чтобы максимизировать вероятность выигрыша?
2. Какую максимальную вероятность можно достичь?

С уважением

P.S. Ответ на вопрос № 2 можно угадать, так что просто число за ответ засчитано не будет

Лотерея, казино и налог на глупость. Взгляд математика

Передаваемые из уст в уста «системы выигрыша в лотерею» часто формулируются убедительно и наукообразно, но, по сути, они ложны и их цель –  забирать у игроков деньги на постоянной основе, и чем больше – тем лучше.

 

Случайные независимые выборки

Есть две системы, по форме диаметрально противоположные друг другу, а по сути обе являющиеся ложными. Одна из них построена на ложном предположении, что те номера, которые уже давно не выпадали, вот-вот выпадут в одном из ближайших тиражей. Другая строится на предположении, что есть якобы какие-то «моменты притяжения» определённых номеров, и номера, выпадавшие в недавних предыдущих тиражах, должны выпасть в одном из ближайших последующих.

 

И то, и другое в корне неверно – любые два разных исхода тиражей лотереи представляют собой случайные независимые выборки.

В журнале «Наука и жизнь» некогда была рассмотрена система игры в числовые лотереи, имеющая определённый научный интерес. Она утверждает, что выпадение всех возможных цифровых комбинаций равновероятно, поэтому построить систему, которая обыграет лототрон, невозможно (и это действительно правда). Однако, можно построить систему игры против других игроков. Поскольку выигрышный фонд делится между угадавшими выигрышные комбинации, то нужно выбирать комбинации, которые избегают выбирать другие игроки. Например, игроки охотно выбирают номера от 1 до 30, ассоциируя эти номера с определёнными датами (например, днями рождения или свадьбы), а числа больше 30 выбирают реже. И ещё игроки неохотно делают ставки на подряд идущие номера и т.д. Поэтому надо играть «не так, как все», чтобы в случае выигрыша разделить выигрышный фонд с как можно меньшим числом конкурентов.

 

Да, действительно, подобного рода система может повысить потенциальный выигрыш на 10–25 процентов, и она бы работала, если бы устроители лотерей забирали себе небольшой процент от вырученной от продажи билетов суммы. Но поскольку организаторы лотерей забирают себе 25–50%, то даже «умные» игроки остаются в проигрыше.

Этому способствует так называемая «развёрнутая система», когда в одном билете может быть спрятано много ставок.

 

 

Казино - игры с отрицательным математическим ожиданием

В казино имеет место аналогичная ситуация, с той разницей, что крупные выигрыши ещё более редки, зато небольшие выигрыши, происходящие на глазах всех игроков, происходят регулярно. Если в лотерее организаторы забирают себе большой процент от суммы, вырученной от продажи билетов (25–50%), то в азартных играх, предлагаемых казино, этот процент невелик (2–5%), и казино получает гарантированную прибыль при большом количестве ставок.

Все игры, проводимые в казино, это так называемые игры с отрицательным математическим ожиданием. Это означает, что в среднем игрок получит меньшую сумму, чем заплатил за право участия в игре. Средний проигрыш, однако, не исключает частной возможности выигрыша, и каждый из игроков думает: «А ведь этим выигравшим могу быть и я».

 

Если игрок сделает несколько ставок, то выиграет он или проиграет, зависит от случая, а если игрок посещает казино регулярно, то тут вмешиваются законы математической статистики, и при этом работает такой главный принцип: чем больше было сделано ставок, тем меньше шансов у игрока оказаться в выигрыше, причём при росте числа ставок вероятность суммарного выигрыша стремится к нулю.

 

Матемоделирование игры «простой шанс»

Рассмотрим ставку «простой шанс». На колесе рулетки есть 18 «красных» и 18 «черных» номеров, а также цифра 0, или зеро, выкрашенная в зелёный цвет, всего 37 номеров. Если игрок сделал ставку на цвет (красное или чёрное) и при этом угадал цвет номера, то ему возвращается его ставка и выплачивается сумма, равная ставке, в противном случае игрок теряет ставку. Таким образом, вероятность «угадать цвет» равна 18/37 ≈ %.

 

Почти половина, – скажет читатель, и это «почти правильно». Действительно, в одной игре то, что игра «не совсем справедливая» почти незаметно, однако, как было отмечено выше, с ростом числа игр вероятность того, что игрок останется в выигрыше, стремится к нулю.

 

На рисунке приведен график результатов математического моделирования игры «простой шанс». По оси х отложено количество игр (всего ) по оси у – выигрыш игрока (при условии, что каждый раз он делает ставку, равную 1).

Из графика видно, что, например, есть выигрышные участки, длиной игр (на которых график идёт вверх), но их меньше, чем проигрышных участков. Если же график разбить на участки по игр, то выигрышным будет лишь один участок из 10 (в данном случае – от 0 до ), а игр гарантированно принесёт игроку убыток – единиц.

 

Поэтому персонал казино ставит своей целью удержать игроков возле игровых столов как можно дольше, а если выигрыш случился – не дать его унести.

 

 

 

Мартингейл: вероятность проиграть стремится к единице

Подобно «системам» выигрыша в лотереи, существуют и системы выигрыша в казино, звучащие убедительно, но также являющиеся ложными.

 

Наиболее известные системы – это так называемые мартингейл (или мартингал) или антимартингейл (соответственно антимартингал). Суть мартингала (например, применительно к ставке «простой шанс» в рулетке) такая.

 

Пусть у игрока есть некоторая сумма (например, равная 70 ставкам). Пусть игрок поставил на простой шанс (например, красный цвет) одну ставку. Он выиграет с вероятностью 18/ Если он выиграл – значит, он получил приращение «единицу» к своей сумме, и дальше ему надо поставить на другой цвет. Если проиграл – ничего страшного, проигранное можно отыграть в следующем туре, вновь поставив на тот же цвет, что и ранее, две единицы. Если на этот раз он выиграл, то он отыграл свой предыдущий проигрыш и вдобавок выиграл единичную ставку.

 

Получаем выигрыш, возвращаемся к единичной ставке и меняем цвет. Если подряд будут проиграны и единичная и двойная ставка, то пытаемся отыграть всё, сделав ставку, равную 4 и т.д. Рассуждения строятся на утверждении, что, якобы, «полоса невезения», в результате которой игрок проиграет несколько раз подряд, маловероятна.

 

Это было бы правдой, если бы игрок обладал большой суммой денег, и ему «для полного счастья» нужна еще сумма, равная одной ставке. Но, на самом деле, это – всё равно игра с отрицательным средним, поэтому вероятность удвоить сумму, имеющуюся в наличии, путём сложения мелких выигрышей будет меньше, чем вероятность проиграть имеющуюся в наличии сумму, рано или поздно попав в полосу невезения.

 

Система «антимартингейл» наоборот, советует делать небольшую ставку, а в случае выигрыша вновь ставить всё выигранное, и так несколько раз. Таким образом, на каждом шаге проигрывается одна ставка, но в случае наступления «полосы везения» выигрыш возрастает в геометрической прогрессии. Но, в конечном итоге, какова бы не была последовательность ставок, вероятность проиграть изначально выделенную на игру сумму стремится к единице.

 

Эти системы касаются и интернет-казино. Они часто подаются как рекламные ролики в интернете и привязываются к каким-либо пиратским ресурсам, например музыкальным или онлайн-кинотеатрам.

Предлагаемые ими системы могут привести к кратковременному небольшому выигрышу, но, в конечном итоге, тот, кто следует какой-либо «чудо-системе», потеряет всё.

Оказывается, частый запрос в сети: «проиграл в онлайн казино, что делать?».

Так что думайте сами, решайте сами, играть или нет. ^{_{Источник}}

В математку поэтапно входит своеобразное дополнение к ученому - искусственный интеллект, это позволяет нивелировать недостатки восприятия человека. Из-за ограничения нашего восприятия многомерных объектов мы не можем эффективно их анализировать и видеть все взаимосвязи. Чем математические узлы отличаются от обычных? Оказывается, у них нет ни начала, ни конца - они замкнутые. Методы машинного обучения постепенно проникают в те области математики, которые связаны с Big Data и решением масштабных задач. «Изучение математики в школе сродни игре гамм на пианино, в то время как работа реальных математиков больше похожа на джазовые импровизации».

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

Теги:Наука

править код]

Примечания[править править код]

Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рисунке 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с -мерной функцией. Тогда нам необходимо отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.

Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования[править править код]

Прямое моделирование методом Монте-Карло какого-либо физического процесса подразумевает моделирование поведения отдельных элементарных частей физической системы. По сути это прямое моделирование близко к решению задачи из первых принципов, однако обычно для ускорения расчётов допускается применение каких-либо физических приближений. Примером могут служить расчёты различных процессов методом молекулярной динамики: с одной стороны система описывается через поведение её элементарных составных частей, с другой стороны, используемый потенциал взаимодействия зачастую является эмпирическим.

Примеры прямого моделирования методом Монте-Карло:

Квантовый метод Монте-Карло[править

nest...

53018 53019 53020 53021 53022