Logaritma Fonksiyonun Tersi

logaritma fonksiyonun tersi

Logaritmik Fonksiyonlarının Grafiği

SORU 5:

\( a = \log_5{3} \)

\( b = \log_{25}{16} \)

\( c = \log_{}{} \)

olduğuna göre, \( a \), \( b \) ve \( c \) değerlerinin büyüklük sıralaması nedir?

Çözümü Göster

İfadeleri aynı tabana getirelim.

\( a = \log_5{3} \)

\( b = \log_{5^2}{4^2} = \log_5{4} \)

\( c = \log_{5^3}{6^3} = \log_5{6} \)

\( f(x) = \log_5{x} \) fonksiyonu tüm tanım aralığında artan olduğu için, \( x \) değeri büyüdükçe fonksiyon değeri de büyür.

Buna göre ifadelerin büyüklük sıralaması \( a \lt b \lt c \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

\( \log_{\frac{1}{5}}{a} \lt \log_{\frac{1}{5}}{b} \lt \log_{\frac{1}{5}}{c} \)

olduğuna göre, \( a \), \( b \) ve \( c \) değerlerinin büyüklük sıralaması nedir?

Çözümü Göster

\( \log_{\frac{1}{5}}{x} \) fonksiyonu tüm tanım aralığında azalan olduğu için, \( x \) değeri büyüdükçe fonksiyon değeri küçülür.

Buna göre logaritma içlerinin büyüklük sıralaması \( c \lt b \lt a \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

\( f(x) = 2^{x + 3} - 4 \)

fonksiyonunun grafiğinin \( y = x \) doğrusuna göre simetriğini bulunuz.

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun tersinin grafiği orijinal fonksiyonun grafiğinin \( y = x \) doğrusuna göre simetriğidir.

\( f \) fonksiyonunun tersini bulmak için fonksiyonda \( x \)'i yalnız bırakalım.

\( y = 2^{x + 3} - 4 \)

\( 2^{x + 3} = y + 4 \)

\( x + 3 = \log_2(y + 4) \)

\( x = \log_2{(y + 4)} - 3 \)

Elde ettiğimiz ifade \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonudur ve grafiği \( f \) fonksiyonunun grafiğinin \( y = x \) doğrusuna göre simetriğidir.

\( f^{-1}(x) = \log_2{(x + 4)} - 3 \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

Yukarıda \( f(x) \) üstel fonksiyonunun ve \( g(x) \) logaritma fonksiyonunun grafikleri verilmiştir.

Bu iki grafik \( y = x \) doğrusuna göre simetrik olduğuna göre \( g(\frac{9}{2}) \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( f(x) \) grafiği üzerinde verilen iki noktayı yerine koyarak fonksiyon tanımını bulalım.

\( f(0) = k \cdot a^0 = 2 \)

\( k = 2 \)

\( f(3) = 2 \cdot a^3 = \dfrac{27}{4} \)

\( a^3 = \dfrac{27}{8} \)

\( a = \dfrac{3}{2} \)

Buna göre \( f(x) \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = 2 \cdot (\frac{3}{2})^x \)

Verilen iki grafik \( y = x \) doğrusuna göre simetrik ise bu iki fonksiyon birbirinin tersidir. Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun tersini bulmak için \( x \)'i yalnız bırakalım.

\( y = 2 \cdot (\frac{3}{2})^x \)

\( (\frac{3}{2})^x = \dfrac{y}{2} \)

\( x = \log_{\frac{3}{2}}\frac{y}{2} \)

Elde ettiğimiz ifade \( f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonudur.

\( f^{-1}(x) = g(x) = \log_{\frac{3}{2}}\frac{x}{2} \)

\( g(\frac{9}{2}) \) değerini bulmak için \( x = \frac{9}{2} \) koyalım.

\( g(\frac{9}{2}) = \log_{\frac{3}{2}}\frac{\frac{9}{2}}{2} \)

\( = \log_{\frac{3}{2}}\frac{9}{4} = \log_{\frac{3}{2}}(\frac{3}{2})^2 \)

\( = 2 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

Yukarıda \( f(x) = \log_a(x + b) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Verilenlere göre \( f(72) + f^{-1}(a) \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

\( x = -9 \) logaritma fonksiyonunun dikey asimptotu logaritma içini sıfır, dolayısıyla logaritma ifadesini tanımsız yapan değerdir.

\( x + b = -9 + b = 0 \)

\( b = 9 \)

\( f(x) = \log_a(x + 9) \)

\( (0, 2) \) noktasını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(0) = \log_a(0 + 9) = 2 \)

\( a = 3 \)

\( f(x) = \log_3(x + 9) \)

\( f(72) \) değerini bulmak için \( x = 72 \) koyalım.

\( f(72) = \log_3(72 + 9) = \log_3{81} = 4 \)

\( f^{-1}(a) = f^{-1}(3) \)

\( f^{-1}(3) \) değerini bulmak için fonksiyon değerini 3 yapan \( x \) değerini bulalım.

\( \log_3(x + 9) = 3 \)

\( x + 9 = 27 \)

\( x = 18 \)

Buna göre \( f(72) + f^{-1}(a) = 4 + 18 = 22 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( \log{\abs{x}} + 3 \) fonksiyonunun grafiği \( y = x \) doğrusu ile kaç noktada kesişir?

Çözümü Göster

Önce \( \log{x} \) fonksiyonuna iki dönüşüm uygulayarak sorudaki fonksiyonu elde edelim.

\( \log{x} \mapsto \log{\abs{x}} \)

Fonksiyonun girdisinin mutlak değeri alındığında \( y \) ekseninin solunda kalan noktalar (varsa) silinir ve \( y \) ekseninin sağında kalan noktaların \( y \) eksenine göre yansıması oluşur.

\( \log{\abs{x}} \mapsto \log{\abs{x}} + 3 \)

Bir fonksiyonun çıktısına 3 birim eklendiğinde grafiği 3 birim yukarı ötelenir.

Aşağıda bu dönüşümler sonucunda oluşan fonksiyonun ve \( y = x \) doğrusunun grafikleri verilmiştir.

\( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin solunda kalan kısmını tek noktada kestiğinden emin olabiliriz, \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını kesip kesmediğinden ya da kesiyorsa kaç noktada kestiğinden emin olmak için ya bir programla grafiğini çizmeliyiz ya da iki denklemi ortak çözmeliyiz.

Alternatif olarak \( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını 2 noktada kestiğini daha pratik bir yöntemle bulabiliriz.

Verilen logaritma fonksiyonunda \( y = 0 \) verip \( x \) değerini ve \( x = 1 \) ve \( x = 10 \) verip \( y \) değerlerini hesapladığımızda fonksiyonun aşağıdaki noktalardan geçtiğini buluruz.

\( (10^{-3}, 0), (1, 3), (10, 4) \)

Bu noktalardan 1. ve 3.sünün ordinat değerleri apsis değerlerinden küçük olduğu için \( y = x \) doğrusunun altında kalır, 2. noktanın ise ordinat değeri daha büyük olduğu için \( y = x \) doğrusunun üstünde kalır.

Buna göre fonksiyon grafiğinin doğrunun altındayken doğruyu kesip üstüne geçtiği, sonra tekrar kesip altına indiği sonucuna varabiliriz.

Buna göre verilen fonksiyon ve doğru 3 noktada kesişirler.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Yukarıda \( f(x) = \ln(x - 2) \) ve \( g(x) = 2\ln(x - 4) \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

(1) \( A \) ve \( B \) noktalarının apsis değerlerini bulunuz.

(2) İki fonksiyonun kesiştiği \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözümü Göster

1. Soru:

Fonksiyonların \( x \) eksenini kestikleri noktaları bulmak için denklemlerde \( y = 0 \) verelim.

\( f(x) = \ln(x - 2) = 0 \)

\( x - 2 = e^0 = 1 \)

\( x = 3 \)

\( A(3, 0) \) bulunur.

\( g(x) = 2\ln(x - 4) = 0 \)

\( x - 4 = e^0 = 1 \)

\( x = 5 \)

\( B(5, 0) \) bulunur.

2. Soru:

Fonksiyonların kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( f(x) = g(x) \)

\( \ln(x - 2) = 2\ln(x - 4) \)

\( \ln(x - 2) = \ln(x - 4)^2 \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( x - 2 = (x - 4)^2 \)

\( x - 2 = x^2 - 8x + 16 \)

\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)

\( (x - 3)(x - 6) = 0 \)

Logaritma tanımına göre logaritma ifadelerinin içleri pozitif olmalıdır.

\( x \gt 2 \) ve \( x \gt 4 \)

Buna göre \( x = 3 \) geçerli bir çözüm değildir ve fonksiyonların kesişim noktası \( x = 6 \) apsisli noktadır.

Verilen denklemlerden herhangi birinde \( x = 6 \) yazalım.

\( f(6) = \ln(6 - 2) \)

\( = \ln{4} = 2\ln{2} \)

\( C(6, 2\ln{2}) \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f(x) = \ln{x} + 8x \)

\( A(\frac{1}{8}, m) \) ve \( B(\frac{1}{4}, n) \) noktaları bu fonksiyonun grafiği üzerindeki iki nokta olduğuna göre, \( [AB] \) doğru parçasının eğimini bulunuz.

Çözümü Göster

Verilen noktaların apsis değerlerini fonksiyon tanımında yerine koyarak ordinat değerlerini bulalım.

\( f(\frac{1}{8}) = \ln{\frac{1}{8}} + 8(\frac{1}{8}) \)

\( m = \ln{2^{-3}} + 1 \)

\( = 1 - 3\ln{2} \)

\( f(\frac{1}{4}) = \ln{\frac{1}{4}} + 8(\frac{1}{4}) \)

\( n = \ln{2^{-2}} + 2 \)

\( = 2 - 2\ln{2} \)

Buna göre bu iki noktanın koordinatları \( A(\frac{1}{8}, 1 - 3\ln{2}) \) ve \( B(\frac{1}{4}, 2 - 2\ln{2}) \) olur.

\( [AB] \) doğru parçası için eğim formülünü yazalım.

\( m_{AB} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( = \dfrac{(2 - 2\ln{2}) - (1 - 3\ln{2})}{(\frac{1}{4}) - (\frac{1}{8})} \)

\( = \dfrac{1 + \ln{2}}{\frac{1}{8}} \)

\( = 8 + 8\ln{2} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Yukarıda verilen \( f(x) = \log_a(x + b) \) grafiğine göre \( f() \) kaçtır?

Çözümü Göster

Logaritma değerini eksi sonsuza götüren değer \( x = -3 \)'tür, dolayısıyla logaritma içini sıfır yapan değer \( x = -3 \) olur.

\( x + b = -3 + b = 0 \)

\( b = 3 \)

Verilen \( (6, 2) \) noktasını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(6) = \log_a(6 + 3) = 2 \)

\( 6 + 3 = a^2 \)

Taban negatif olamaz.

\( a = 3 \)

Fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = \log_3(x + 3) \)

\( f() \) değerini bulmak için \( x = \) yazalım.

\( f() = \log_3( + 3) \)

\( = \log_3{3^5} = 5 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Yukarıdaki grafik \( y = \log_a(bx + c) \) fonksiyonuna aittir.

Buna göre \( a \cdot b \cdot c \) çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

Logaritma içini sıfır yapan değer dikey asimptotun \( x \) değerini verir.

\( bx + c = 0 \)

\( -4b + c = 0 \)

\( c = 4b \)

Grafik \( (-2, 0) \) noktasından geçmektedir.

\( f(-2) = \log_a(b(-2) + c) = 0 \)

\( -2b + c = a^0 = 1 \)

\( -2b + 4b = 1 \)

\( b = \dfrac{1}{2} \)

\( c = 4b = 2 \)

Grafik \( (0, -\frac{1}{2}) \) noktasından geçmektedir.

\( f(0) = \log_a(-\frac{1}{2}(0) + 2) = -\dfrac{1}{2} \)

\( a^{-\frac{1}{2}} = 2 \)

\( a = \dfrac{1}{4} \)

\( a \cdot b \cdot c = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Yukarıdaki grafik \( y = \log_a(n - x) + m \) fonksiyonuna aittir.

Buna göre \( a \cdot m \cdot n \) çarpımı kaçtır?

Çözümü Göster

Logaritma içini sıfır yapan değer dikey asimptotun \( x \) değerini verir.

\( n - x = n - 4 = 0 \)

\( n = 4 \)

Diğer bilinmeyenleri bulmak için grafikte verilen noktaları fonksiyon tanımında yerine koyalım.

\( (2, 1) \) noktası:

\( f(2) = \log_a(4 - 2) + m = 1 \)

\( \log_a{2} = 1 - m \)

\( (-4, -1) \) noktası:

\( f(-4) = \log_a(4 - (-4)) + m = -1 \)

\( \log_a{8} = -1 - m \)

\( 3\log_a{2} = -1 - m \)

\( \log_a{2} = \dfrac{-1 - m}{3} \)

Bulduğumuz iki \( \log_a{2} \) değerini birbirine eşitleyelim.

\( 1 - m = \dfrac{-1 - m}{3} \)

\( 3 - 3m = -1 - m \)

\( m = 2 \)

\( m \) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( \log_a{2} = 1 - m \)

\( \log_a{2} = 1 - 2 \)

\( a^{-1} = 2 \)

\( a = \dfrac{1}{2} \)

\( a \cdot m \cdot n = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Şekilde \( f(x) = \log_2{\frac{x}{4}} \) ve \( f^{-1}(x) \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

Verilen bilgilere göre \( 0ABC \) dikdörtgeninin alanını bulunuz.

Çözümü Göster

\( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.

\( y = \log_2{\frac{x}{4}} \)

\( 2^y = \dfrac{x}{4} \)

\( 4 \cdot 2^y = x \)

\( f^{-1}(x) = 2^{x + 2} \)

\( C \) noktasının ordinat değerini bulmak için \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunda \( x = 0 \) verelim.

\( f^{-1}(0) = 2^{0 + 2} = 4 \)

\( C(0, 4) \)

Buna göre \( B \) noktasının ordinat değeri de \( y = 4 \) olur.

\( B \) noktasının apsis değerini bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunda \( y = 4 \) verelim.

\( f(x) = \log_2{\frac{x}{4}} = 4 \)

\( 2^4 = \dfrac{x}{4} \)

\( x = 64 \)

\( B(64, 4) \)

Buna göre dikdörtgenin yüksekliği 4, genişliği de 64 olur.

\( A(OABC) = 4 \cdot 64 = \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

Ters Fonksiyon

SORU 1:

\( A = \{a, b, c, d, e\} \) kümesinde tanımlı \( f = \{(a, c), (b, d), (c, e), (d, a), (e, b)\} \) fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, \( f^{-1} \) fonksiyonunu bulunuz.

Çözümü Göster

Fonksiyon tanım kümesindeki tüm elemanların görüntüsü farklı olduğu için birebir, değer kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmadığı için örtendir. Dolayısıyla fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlıdır ve sıralı ikililerin bileşenlerinin aralarında yer değiştirmesi ile elde edilir.

\( f(a) = c \Longrightarrow f^{-1}(c) = a \)

Buna göre ters fonksiyon aşağıdaki gibi olur.

\( f^{-1} = \{(c, a), (d, b), (e, c), (a, d), (b, e)\} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x + 2) = 3x - 2 + a \)

\( f^{-1}(4) = 3 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( f^{-1}(4) = 3 \) ise \( f(3) = 4 \) olur.

\( f(x + 2) \) ifadesinde \( x = 1 \) yazalım.

\( f(1 + 2) = 3(1) - 2 + a \)

\( f(3) = 1 + a = 4 \)

\( a = 3 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( f(x) = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 20 \)

\( f^{-1}(a^3 + 7) = 5 \)

olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster

\( f^{-1}(a^3 + 7) = 5 \) ise,

\( f(5) = a^3 + 7 \)

\( f(5) \) değerini bulmak için fonksiyonda \( x = 5 \) yazalım.

\( f(5) = 8(5)^3 - 36(5)^2 + 54(5) - 20 \)

\( - + - 20 = a^3 + 7 \)

\( a^3 + 7 = \)

\( a^3 = \)

\( a = 7 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( f: A \to B \) olmak üzere,

\( f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x + 3} \) fonksiyonu veriliyor.

\( (2, 3) \in f^{-1} \) ise \( k \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( f^{-1} \) fonksiyonunda 2'nin görüntüsü 3 ise \( f \) fonksiyonunda 3'ün görüntüsü 2'dir.

\( (3, 2) \in f \)

\( f(3) = 2 \)

Bu değerleri fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(3) = \dfrac{3^2 - k}{3 + 3} = 2 \)

\( 9 - k = 12 \)

\( k = -3 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

\( f(x) = 3^{x - 1} - 11 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(70) \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( f^{-1}(70) = a \) diyelim.

\( f(a) = 70 \)

\( f \) fonksiyonunun sonucunu 70 yapan \( a \) değerini bulalım.

\( f(a) = 3^{a - 1} - 11 = 70 \)

\( 3^{a - 1} = 81 \)

\( a = 5 \)

\( f^{-1}(70) = a = 5 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

\( f(2x - 1) = 3x + 5 \) ve \( f^{-1}(2a - 5) = 11 \)

olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

Verilen ters fonksiyonu tersine çevirerek aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( f(11) = 2a - 5 \)

Birinci eşitlikte fonksiyonun içindeki ifadeyi 11'e eşitleyelim.

\( 2x - 1 = 11 \Longrightarrow x = 6 \)

\( f(11) \) değeri için \( x = 6 \) yazalım.

\( f(2(6) - 1) = 3(6) + 5 \)

\( f(11) = 23 = 2a - 5 \)

\( a = 14 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

\( f(x) = 2x + 1 \) ve \( g(x) = x^3 + 2 \)

olduğuna göre, \( (f^{-1} \circ g)(1) \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( (f^{-1} \circ g)(1) = f^{-1}(g(1)) = a \) diyelim.

\( g(1) = 1^3 + 2 = 3 \)

\( f^{-1}(g(1)) = f^{-1}(3) = a \)

Ters fonksiyonu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( f(a) = 3 \)

\( 2a + 1 = 3 \)

\( a = 1 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8:

\( g^{-1}(5 + 2x) = g(x) + 2x \) olduğuna göre, \( (g \circ g)(0) \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( (g \circ g)(0) = g(g(0)) \)

Ters fonksiyonun girdi ve çıktı değerlerini yer değiştirerek normal fonksiyon şeklinde yazalım.

\( g(g(x) + 2x) = 5 + 2x \)

\( x = 0 \) yazalım.

\( g(g(0) + 0) = 5 + 2 \cdot 0 \)

\( g(g(0)) = 5 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( f(x) = x^4 + 2x^2 + mx + 5 \)

\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiği \( (-2, 1) \) noktasından geçtiğine göre, \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunun grafiği \( (-2, 1) \) noktasından geçtiğine göre, \( f^{-1}(-2) = 1 \) olur.

\( f^{-1}(-2) = 1 \) ise \( f(1) = -2 \) olur.

\( f \) fonksiyonunda \( x = 1 \) yazalım.

\( f(1) = 1^4 + 2(1)^2 + m(1) + 5 = -2 \)

\( 1 + 2 + m + 5 = -2 \)

\( m = \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f: \mathbb{R} - \{ -\frac{1}{3} \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{4}{3} \} \)

\( f(x) = \dfrac{4x - 2}{3x + 1} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(-1) \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.

\( f(x) = \dfrac{4x - 2}{3x + 1} \)

\( f^{-1}(x) = \dfrac{-x - 2}{3x - 4} \)

\( f^{-1}(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) yazalım.

\( f^{-1}(-1) = \dfrac{-(-1) - 2}{3(-1) - 4} \)

\( = \dfrac{1}{7} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( (f \circ g)(x) = x + 2 \)

\( f(x) = \dfrac{3x - 2}{3} \)

olduğuna göre, \( g^{-1}(2) \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)

\( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım.

\( x + 2 = \dfrac{3g(x) - 2}{3} \)

\( 3x + 6 = 3g(x) - 2 \)

\( g(x) = \dfrac{3x + 8}{3} \)

\( g(x) \) fonksiyonunun tersini alalım.

\( g^{-1}(x) = \dfrac{3x - 8}{3} \)

\( g^{-1}(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.

\( g^{-1}(2) = \dfrac{3(2) - 8}{3} = -\dfrac{2}{3} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f(x) = \dfrac{3f(x) + 6}{2x - 1} \)

\( f^{-1}(3) = m - 3 \)

olduğuna göre, \( m \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( f(x) \)'i yalnız bırakalım.

\( 2xf(x) - f(x) = 3f(x) + 6 \)

\( 2xf(x) - 4f(x) = 6 \)

\( f(x)(2x - 4) = 6 \)

\( f(x) = \dfrac{6}{2x - 4} \)

\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.

\( f^{-1}(x) = \dfrac{4x + 6}{2x} \)

\( f^{-1}(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.

\( f^{-1}(3) = \dfrac{4(3) + 6}{2(3)} \)

\( = \dfrac{18}{6} = 3 = m - 3 \)

\( m = 6 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f: \mathbb{R} - \{ a \} \to \mathbb{R} - \{ b \} \) olmak üzere,

\( f(x) = \dfrac{3x - a}{2x - 1} \) fonksiyonu birebir ve örten ise \( f(b) \) kaçtır?

Çözümü Göster

Fonksiyon tanımında paydayı 0 yapan değer fonksiyonu tanımsız yapar. Tanım kümesindeki tüm elemanlar için fonksiyonun tanımlı olması gerektiği için paydayı sıfır yapan \( x \) değeri tanım kümesinin dışında bırakılan \( a \) değeri olmalıdır.

\( 2a - 1 = 0 \Longrightarrow a = \dfrac{1}{2} \)

\( f(x) = \dfrac{3x - \frac{1}{2}}{2x - 1} \)

Fonksiyon birebir ve örten olduğu için tersini alabiliriz.

\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.

\( f^{-1}(x) = \dfrac{x - \frac{1}{2}}{2x - 3} \)

\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.

\( f^{-1}: \mathbb{R} - \{ b \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{1}{2} \} \)

Ters fonksiyon tanımında paydayı 0 yapan değer fonksiyonu tanımsız yapar. Tanım kümesindeki tüm elemanlar için fonksiyonun tanımlı olması gerektiği için paydayı sıfır yapan \( x \) değeri ters fonksiyonun tanım kümesinin dışında bırakılan \( b \) değeri olmalıdır.

\( 2b - 3 = 0 \Longrightarrow b = \dfrac{3}{2} \)

\( f(b) \) değerini bulmak için \( x = \frac{3}{2} \) yazalım.

\( f(b) = f(\frac{3}{2}) \)

\( = \dfrac{3(\frac{3}{2}) - \frac{1}{2}}{2(\frac{3}{2}) - 1} = 2 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} = 2x + 3 \) olduğuna göre,

\( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) yalnız bırakılır. Verilen ifadede \( x \) bu forma çok yakındır.

\( 2x + 3 = \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} \)

\( 2x = \dfrac{f(x) + 3}{f(x)} - 3 \)

\( 2x = \dfrac{3 - 2f(x)}{f(x)} \)

\( x = \dfrac{3 - 2f(x)}{2f(x)} \)

\( x \) ve \( f(x) \) ifadelerini aralarında yer değiştirdiğimizde \( f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.

\( f^{-1}(x) = \dfrac{3 - 2x}{2x} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( y = f(x) \) fonksiyonu için \( xy + 4y = 3x - 2 \) eşitliği veriliyor.

Buna göre \( f^{-1}(x) \) nedir?

Çözümü Göster

Denklemi düzenleyelim.

\( y(x + 4) = 3x - 2 \)

\( y = f(x) = \dfrac{3x - 2}{x + 4}\)

\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.

\( f^{-1}(x) = \dfrac{-4x - 2}{x - 3} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f: [4, +\infty) \to A \) fonksiyonu örtendir.

\( f(x) = x^2 - 8x + 12 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.

Çözümü Göster

Verilen fonksiyon başkatsayısı pozitif ve kolları yukarı yönlü olan bir paraboldür.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( r = -\dfrac{-8}{2} = 4 \)

\( k = f(4) = 4^2 - 8(4) + 12 = -4 \)

\( T(4, -4) \) olduğuna göre parabolün görüntü kümesi \( [-4, \infty) \) olur.

\( f: [4, +\infty) \to [-4, \infty) \)

Fonksiyonun tanım kümesi parabolün tepe noktası ve daha büyük apsis değerli noktaları kapsadığı için fonksiyon yatay doğru testini geçer ve birebirdir, dolayısıyla tersi tanımlıdır.

Fonksiyonun tersini bulmak için \( x \)'i yalnız bırakalım.

Eşitliğin sağ tarafını tam kareye tamamlayalım.

\( y = x^2 - 8x + 16 - 4 \)

\( y = (x - 4)^2 - 4 \)

\( (x - 4)^2 = y + 4 \)

\( \sqrt{(x - 4)^2} = \sqrt{y + 4} \)

\( \abs{x - 4} = \sqrt{y + 4} \)

\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi 4'ten büyük reel sayıları kapsadığı için \( x - 4 \) ifadesi mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( x - 4 = \sqrt{y + 4} \)

\( x = \sqrt{y + 4} + 4 \)

\( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yer değiştirdiğinde \( y = f^{-1} \) fonksiyonunu elde ederiz.

\( f^{-1}(x) = \sqrt{x + 4} + 4 \)

\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.

\( f^{-1}: [-4, \infty) \to [4, +\infty) \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f, g, h \) uygun aralıklarda tanımlı birer fonksiyondur.

\( f(x) = 2 - \ln(x + 1) \)

\( g(x) = \sqrt{e^x - 2} \)

\( h(x) = 1 + 2e^{-x} \)

Verilen fonksiyonların tersini bulunuz.

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( y \) yerine \( x \) yazılır.

\( f(x) \) fonksiyonu:

\( y = 2 - \ln(x + 1) \)

\( x \)'i yalnız bırakalım.

\( \ln(x + 1) = 2 - y \)

Her iki tarafta \( e \)'nin kuvvetini alalım.

\( e^{\ln(x + 1)} = e^{2 - y} \)

\( x + 1 = e^{2 - y} \)

\( x = e^{2 - y} - 1 \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.

\( y = f^{-1}(x) = e^{2 - x} - 1 \)

\( g(x) \) fonksiyonu:

\( y = \sqrt{e^x - 2} \)

Eşitliğin her iki tarafının karesini alıp köklü ifadeden kurtulalım.

\( y^2 = e^x - 2 \)

\( e^x = y^2 + 2 \)

Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak \( e \) ifadesinden kurtulalım.

\( \ln{e^x} = \ln(y^2 + 2) \)

\( x = \ln(y^2 + 2) \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.

\( y = g^{-1}(x) = \ln(x^2 + 2) \)

\( h(x) \) fonksiyonu:

\( y = 1 + 2e^{-x} \)

\( x \)'i yalnız bırakalım.

\( 2e^{-x} = y - 1 \)

\( e^{-x} = \dfrac{y - 1}{2} \)

Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak \( e \) ifadesinden kurtulalım.

\( \ln{e^{-x}} = \ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)

\( -x = \ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)

\( x = -\ln{\dfrac{y - 1}{2}} \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirdiğimizde ters fonksiyonu elde ederiz.

\( y = h^{-1}(x) = -\ln{\dfrac{x - 1}{2}} \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f(\frac{x - 1}{x + 1}) = x + 2 \)

olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonu nedir?

Çözümü Göster

\( f(x) \) fonksiyonunu elde etmek için \( x \) yerine parantez içindeki \( \frac{x - 1}{x + 1} \) fonksiyonunun tersini yazalım.

\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.

\( y = \dfrac{-x - 1}{x - 1} \)

Fonksiyonda \( x \) yerine \( \frac{-x - 1}{x - 1} \) yazalım.

\( f(\frac{\frac{-x - 1}{x - 1} - 1}{\frac{-x - 1}{x - 1} + 1}) = \dfrac{-x - 1}{x - 1} + 2 \)

\( f(x) = \dfrac{x - 3}{x - 1} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f(x) = \dfrac{(a + 2)x - 4}{x - 3} \) fonksiyonunun tersi kendine eşit olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.

\( f^{-1}(x) = \dfrac{3x - 4}{x - (a + 2)} \)

Buna göre fonksiyonun tersine eşit olabilmesi için \( a + 2 = 3 \) olmalıdır.

\( a + 2 = 3 \)

\( a = 1 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \) olduğuna göre,

\( \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f \circ f)}_\text{ adet}(x) \) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \) formundaki bir fonksiyonun kısa yoldan tersini elde etmek için paydaki \( a \) ile paydadaki \( d \) işaret ve yer değiştirir.

Buna göre verilen fonksiyon tersine eşittir.

\( f(x) = f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \)

Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.

\( (f \circ f^{-1})(x) = I = x \)

Buna göre verilen ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( (f \circ f \circ \ldots \circ f \circ f \circ f)(x) \)

\( = (f \circ f^{-1} \circ \ldots \circ f \circ f^{-1} \circ f)(x) \)

Son fonksiyon dışındaki fonksiyonların ikişerli bileşkesi birim fonksiyonu verir.

\( = (I \circ \ldots \circ I \circ f)(x) \)

\( = f(x) = \dfrac{2x + 3}{4x - 2} \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( (g \circ f^{-1})(x) = 3x - 4 \)

\( (f \circ g)(x) = x + 1 \)

olduğuna göre, \( (g \circ g)(6) \) kaçtır?

Çözümü Göster

Birinci eşitlikteki bileşke fonksiyon ile ikinci eşitlikteki bileşke fonksiyonun bileşkesini alalım.

\( ((g \circ f^{-1}) \circ (f \circ g))(x) = (g \circ f^{-1})((f \circ g)(x)) \)

Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

\( (g \circ f^{-1} \circ f \circ g)(x) = 3(x + 1) - 4 \)

Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyona eşittir.

\( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)

\( (g \circ I \circ g)(x) = 3x - 1 \)

Bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisine eşittir.

\( (g \circ I)(x) = (I \circ g)(x) = g(x) \)

\( (g \circ g)(x) = 3x - 1 \)

\( (g \circ g)(6) \) değerini bulmak için \( x = 6 \) yazalım.

\( (g \circ g)(6) = 3(6) - 1 = 17 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( (f^{-1} \circ g)^{-1}(x) = 3x - 2 \)

\( (f \circ g)(x) = 2x + 4 \) olduğuna göre,

\( (f \circ f)(x) \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( (f^{-1} \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f)(x) = 3x - 2 \)

İki ifadenin bileşkesini alalım.

\( (f \circ g)(x) \circ (g^{-1} \circ f)(x) = (f \circ g \circ g^{-1} \circ f)(x) \)

\( g \circ g^{-1} \) bileşke fonksiyonu birim fonksiyonu verir.

\( = (f \circ I \circ f)(x) = (f \circ f)(x) \)

Buna göre, \( (f \circ g)(x) \) ve \( (g^{-1} \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonlarının bileşkesini alarak \( (f \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulalım.

\( (f \circ f)(x) = 2(3x - 2) + 4 \)

\( (f \circ f)(x) = 6x \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f \) ve \( g \) birebir ve örten fonksiyonlardır.

\( (g \circ f^{-1})(2x + 5) = g(3x - 2) \) olduğuna göre, \( f(4) \) kaçtır?

Çözümü Göster

\( g^{-1} \) fonksiyonunun eşitliğin iki tarafı ile bileşkesini alalım.

\( g^{-1}[(g \circ f^{-1})(2x + 5)] = g^{-1}[g(3x - 2)] \)

\( (g^{-1} \circ g \circ f^{-1})(2x + 5) = (g^{-1} \circ g)(3x - 2) \)

Bir fonksiyonun ters fonksiyonu ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.

\( g^{-1} \circ g = I = x \)

Buna göre ifade aşağıdaki gibi sadeleşir.

\( (I \circ f^{-1})(2x + 5) = I(3x - 2) \)

\( f^{-1}(2x + 5) = 3x - 2 \)

Ters fonksiyonun girdi ve çıktı değerlerini yer değiştirerek normal fonksiyon şeklinde yazalım.

\( f(3x - 2) = 2x + 5 \)

\( f(4) \) elde etmek için \( x = 2 \) yazalım.

\( f(3(2) - 2) = 2(2) + 5 \)

\( f(4) = 9 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f(x) = \dfrac{x + 4}{6} \)

\( (g \circ f)^{-1}(x) = 3x - 13 \)

olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunu bulunuz.

Çözümü Göster

\( f \) fonksiyonunun tersini bulalım.

\( f^{-1}(x) = 6x - 4 \)

Bileşke fonksiyonun ters işlemini parantez içine dağıtalım.

\( (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \)

\( = f^{-1}(g^{-1}(x)) \)

\( f^{-1} \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g^{-1}(x) \) yazalım.

\( = 6g^{-1}(x) - 4 \)

Soruda verilen eşitliği kullanarak \( g^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulalım.

\( 6g^{-1}(x) - 4 = 3x - 13 \)

\( g^{-1}(x) = \dfrac{3x - 9}{6} \)

\( = \dfrac{x - 3}{2} \)

Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisine eşittir.

\( (g^{-1})^{-1}(x) = g(x) \)

\( g(x) = 2x + 3 \) olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f, g, h, t \) fonksiyonları tanımlı oldukları aralıklarda birebir ve örtendir.

\( (f \circ g^{-1} \circ h)(x) = 3x + 4 \)

\( (h^{-1} \circ g)(x) = 2x - 1 \) olduğuna göre,

\( f(x) \) fonksiyonu nedir?

Çözümü Göster

İki eşitlikteki ifadelerin bileşkesini alalım.

\( (f \circ g^{-1} \circ h \circ h^{-1} \circ g)(x) = 3(2x - 1) + 4 \)

Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.

\( k \circ k^{-1} = k^{-1} \circ k = I \)

\( (f \circ g^{-1} \circ I \circ g)(x) = 6x + 1 \)

Bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisini verir.

\( k \circ I = I \circ k = k \)

\( (f \circ g^{-1} \circ g)(x) = 6x + 1 \)

\( (f \circ I)(x) = 6x + 1 \)

\( f(x) = 6x + 1 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

Yukarıda \( f(x) \) ve \( g(x) = x^5 \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

Buna göre \( (f \circ g^{-1} \circ f)(0) \) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözümü Göster

\( b = g(2) = 2^5 = 32 \)

\( (f \circ g^{-1} \circ f)(0) = f(g^{-1}(f(0))) \)

Fonksiyon değerlerini içten dışa doğru bulalım.

\( f(0) = b = 32 \)

\( g^{-1}(32) = 2 \)

\( f(2) = 0 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = x + 1 \) ve \( (f \circ g^{-1})(x) = (f \circ f)(x) \)

olduğuna göre, \( g(3) \) değeri kaçtır?

Çözümü Göster

\( f^{-1} \) fonksiyonunun verilen eşitliğin iki tarafı ile bileşkesini alalım.

\( f^{-1}((f \circ g^{-1})(x)) = f^{-1}((f \circ f)(x)) \)

\( (f^{-1} \circ f \circ g^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f \circ f)(x) \)

Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.

\( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)

\( (I \circ g^{-1})(x) = (I \circ f)(x) \)

Bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisini verir.

\( f \circ I = I \circ f = f \)

\( g^{-1}(x) = f(x) \)

Ters fonksiyonun girdi ve çıktı değerlerini yer değiştirerek normal fonksiyon şeklinde yazalım.

\( g(f(x)) = x \)

\( g(x + 1) = x \)

\( g(3) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.

\( g(2 + 1) = 2 \)

\( g(3) = 2 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f \) tanımlı olduğu aralıkta bir fonksiyondur.

\( f(x) = \dfrac{12^x + 20^x}{3^x + 5^x} \) olduğuna göre,

\( \dfrac{f(3) + f(4)}{f^{-1}(2)} \) ifadesi kaçtır?

Çözümü Göster

\( f(x) = \dfrac{12^x + 20^x}{3^x + 5^x} \) \( = \dfrac{3^x \cdot 4^x + 4^x \cdot 5^x}{3^x + 5^x} \)

Eşitliği \( 4^x \) parentezine alalım.

\( = \dfrac{4^x(3^x + 5^x)}{3^x + 5^x} = 4^x \)

Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu logaritma fonksiyonudur.

\( f^{-1}(x) = \log_4{x} \)

İfadedeki terimleri bulalım.

\( f(3) = 4^3 = 64 \)

\( f(4) = 4^4 = \)

\( f^{-1}(2) = \log_4{2} = \dfrac{1}{2} \)

Bulduğumuz değerleri yerlerine koyalım.

\( \dfrac{f(3) + f(4)}{f^{-1}(2)} = \dfrac{64 + }{\frac{1}{2}} \)

\( = \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f: [0, 5) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = \sqrt{x + 4} \)

fonksiyonunun ters fonksiyonunu bularak tanım ve görüntü kümelerini belirtin.

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( y \) yerine \( x \) yazılır.

\( y = \sqrt{x + 4} \)

Her iki tarafın karesini alarak köklü ifadeden kurtaralım.

\( y^2 = x + 4 \)

\( x \)'i yalnız bırakalım.

\( x = y^2 - 4 \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.

\( y = f^{-1}(x) = x^2 - 4 \)

\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.

\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.

Karekök fonksiyonu kesin artan bir fonksiyon olduğu için görüntü kümesi tanım kümesinin sınır değerlerindeki fonksiyon değerleri arasındaki aralıktır.

\( f(0) = \sqrt{0 + 4} = 2 \)

\( f(5) = \sqrt{5 + 4} = 3 \)

\( f \) görüntü kümesi: \( 2 \le f(x) \lt 3 \)

O halde \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi de aynı aralıktır.

\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( 2 \le x \lt 3 \)

\( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi ile aynıdır.

\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( 0 \le f^{-1}(x) \lt 5 \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU

\( f: [0, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( f(x) = 2x^2 + 5 \)

fonksiyonunun ters fonksiyonunu bularak tanım ve görüntü kümelerini belirtin.

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun tersini bulmak için fonksiyon tanımında \( x \) yalnız bırakılır, elde edilen ifadede \( y \) yerine \( x \) yazılır.

\( y = 2x^2 + 5 \)

\( x \)'i yalnız bırakalım.

\( 2x^2 = y - 5 \)

\( x^2 = \dfrac{y - 5}{2} \)

Her iki tarafın karekökünü alalım.

\( x = \sqrt{\dfrac{y - 5}{2}} \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.

\( y = f^{-1}(x) = \sqrt{\dfrac{x - 5}{2}} \)

\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesidir.

\( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.

\( f(x) = 2x^2 + 5 \) fonksiyonu \( [0, \infty) \) aralığında kesin artan bir fonksiyon olduğu için görüntü kümesi tanım kümesinin sınır değerlerindeki fonksiyon değerleri arasındaki aralıktır.

\( f(0) = 2(0)^2 + 5 = 5 \)

\( x \) pozitif sonsuza giderken \( f(x) \) değeri de pozitif sonsuza gider.

\( f \) görüntü kümesi: \( f(x) \ge 5 \)

O halde \( f^{-1} \) fonksiyonunun tanım kümesi de aynı aralıktır.

\( f^{-1} \) tanım kümesi: \( x \ge 5 \)

\( f^{-1} \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi ile aynıdır.

\( f^{-1} \) görüntü kümesi: \( f^{-1}(x) \ge 0 \)

Soru sorun Soruda hata bildirin

nest...

51595 51596 51597 51598 51599